[wiskunde] Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1.247
Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Hallo,
fp(x)= -2x + ln(ex - p) met p>0
a. Voor welke p heeft fp een positieve extreme waarde?
b. Voor welke p snijft fp de x-as in twee punten waarvan afstand ln3 is?
a. Deze lukte me wel. Mijn antwoord luidt 0 < p < 1/4
b. Hier kom ik niet uit.
Mijn beginnetje:
-2x + ln(e^x -p)= 0
2x=ln(e^x - p)
e^(2x)= e^x -p
(ex)2 - ex +p = 0
(e^x + ...?)(e^x + ...?) = 0
Zo kwam ik dus niet verder...
Ik dacht er ook aan om de x vrij te schrijven, maar dat was (voor mij) niet te doen door die ln.
Hoe pak ik dit aan?
fp(x)= -2x + ln(ex - p) met p>0
a. Voor welke p heeft fp een positieve extreme waarde?
b. Voor welke p snijft fp de x-as in twee punten waarvan afstand ln3 is?
a. Deze lukte me wel. Mijn antwoord luidt 0 < p < 1/4
b. Hier kom ik niet uit.
Mijn beginnetje:
-2x + ln(e^x -p)= 0
2x=ln(e^x - p)
e^(2x)= e^x -p
(ex)2 - ex +p = 0
(e^x + ...?)(e^x + ...?) = 0
Zo kwam ik dus niet verder...
Ik dacht er ook aan om de x vrij te schrijven, maar dat was (voor mij) niet te doen door die ln.
Hoe pak ik dit aan?
- Berichten: 10.179
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Je weet dat je punten x1 en x2 zoekt zodat fp(x1) = fp(x2) = 0 en je weet ook dat x2 - x1 = ln(3) als je eist dat x2 > x1 (dit mag je eisen omdat een van de twee de grootste moet zijn). Helpt dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.247
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Zoiets had ik inderdaad ook in gedachte, maar hoe moet je al die eisen verwerken?
x1= x
x2= x + ln3
Er lijken zo veel opties mogelijk...
x1= x
x2= x + ln3
\(-2x + ln(e^x - p)= -2(x+ln3) + ln(e^{x+ln3}-p)\)
Is dit dan het begin?Er lijken zo veel opties mogelijk...
- Berichten: 10.179
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Wat dacht je van dit: -2x + ln(ex - p) = 0. Dus (na overbrengen van 2x en toepassen van exponentiële) ex - p = e2x. Stel je nu dat ex = y, heb je een eenvoudige tweedegraadsfunctie om op te lossen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.247
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Ja klopt, maar ik begrijp niet hoe je in factoren kunt ontbinden?
y2 - y + p = 0
(y + ...)(y - ...)
a+b = -1
a*b= p
wacht even...
b= -1 - a
a(-1 - a)= 1
-a - a^2 = 1
a^2 + a + 1 = 0
Doe ik nu iets heel raars of...? xD
y2 - y + p = 0
(y + ...)(y - ...)
a+b = -1
a*b= p
wacht even...
b= -1 - a
a(-1 - a)= 1
-a - a^2 = 1
a^2 + a + 1 = 0
Doe ik nu iets heel raars of...? xD
- Berichten: 10.179
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Ken je de discriminant niet?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 581
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
vergeet ook niet dat b-a = ln3Shadow schreef: ↑za 17 nov 2012, 19:10
Ja klopt, maar ik begrijp niet hoe je in factoren kunt ontbinden?
y2 - y + p = 0
(y + ...)(y - ...)
a+b = -1
a*b= p
---WAF!---
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Je doet het goed. Noem de twee waarden a en b, dus:
Bovendien moet gelden de eis: |x_1-x_2|=ln(3), wat zijn x_1 en x_2?
\((e^x-a)(e^x-b)=0\)
wat geldt dan voor a+b en ab?Bovendien moet gelden de eis: |x_1-x_2|=ln(3), wat zijn x_1 en x_2?
- Berichten: 1.247
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
@ Drieske
Dan kom ik uit op:
D= 1 - 4p
dus
@ Westy/Safe
e2x - ex + p = 0
Ik werk liever met +:
a+b= -1
Ik zie trouwens niet waarom b-a = ln3 , want die b en a zitten toch niet samen met de x zegmaar...
Dan kom ik uit op:
D= 1 - 4p
\(e^x = \frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} \vee e^x = \frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2}\)
\( x= ln\frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} \vee x= ln\frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2}\)
En nu moet gelden x2 = x1 + ln3dus
\(ln\frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2} = ln\frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} - ln3 \)
Zoiets...?@ Westy/Safe
e2x - ex + p = 0
Ik werk liever met +:
\( (e^x + a)(e^x + b) = 0\)
a*b= pa+b= -1
\( e^x = -a \vee e^x = -b\)
\( e^x = -a \vee e^{x-ln3} = -b\)
\( x= ln-a \vee x - ln3 = ln-b\)
Nu lijkt alles nog onoplosbaarder, omdat ik 4 onbekenden heb?!Ik zie trouwens niet waarom b-a = ln3 , want die b en a zitten toch niet samen met de x zegmaar...
- Berichten: 581
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Je bent er bijna: schrijf de vgl in de vorm ln(...) - ln(...) = ln(3)Shadow schreef: ↑za 17 nov 2012, 19:38
@ Drieske
Dan kom ik uit op:
D= 1 - 4p
\(e^x = \frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} \vee e^x = \frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2}\)\( x= ln\frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} \vee x= ln\frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2}\)En nu moet gelden x2 = x1 + ln3
dus
\(ln\frac{1 - \sqrt{1-4p}}{2} = ln\frac{1 + \sqrt{1-4p}}{2} - ln3 \)Zoiets...?
en pas dan de eigenschap van de logaritmes toe: lnA-lnB=ln(A/B) , die moet je toch kennen?
dan alles vereenvoudigen en p eruithalen... (ik kom voor p, als ik goed reken 3/16 uit)
---WAF!---
- Berichten: 581
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Dit was gewoon een andere werkwijze met de som-productregel om hetzelfde uit te rekenen, zoals in de vorige post uitgelegd (met de abc-formule / discriminant) , maar uiteindelijk geeft het hetzelfde antwoord...Shadow schreef: ↑za 17 nov 2012, 19:38
@ Westy/Safe
e2x - ex + p = 0
Ik werk liever met +:
\( (e^x + a)(e^x + b) = 0\)a*b= p
a+b= -1
\( e^x = -a \vee e^x = -b\)\( e^x = -a \vee e^{x-ln3} = -b\)\( x= ln-a \vee x - ln3 = ln-b\)Nu lijkt alles nog onoplosbaarder, omdat ik 4 onbekenden heb?!
sorry, wat kort door de bocht, moest zijn:Shadow schreef: ↑za 17 nov 2012, 19:38
Ik zie trouwens niet waarom b-a = ln3 , want die b en a zitten toch niet samen met de x zegmaar...
ln(b)-ln(a)=ln(3)
---WAF!---
- Berichten: 1.247
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Ja, ik kom ook op 3/16 uit!
De manier met de som-product regel snap ik nog steeds niet helemaal, maar als ik het met de discriminant kan, dan is dat op zich wel voldoende voor nu... xD
Ik ben blij dat ik het nu snap! Bedankt allemaal.
De manier met de som-product regel snap ik nog steeds niet helemaal, maar als ik het met de discriminant kan, dan is dat op zich wel voldoende voor nu... xD
Ik ben blij dat ik het nu snap! Bedankt allemaal.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Ik hoop dat je inziet, dat dit eenvoudiger is.
- Berichten: 10.179
Re: Voor welke p snijdt fp de x-as in 2 punten met afstand ln3?
Waarom zou dat eenvoudiger moeten zijn dan een discriminant? Gewoon een kwestie van voorkeur en allemaal equivalent qua werkwijze.
@Shadow: succes nog!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.