Springen naar inhoud

Maximale gemiddelde snelheid kogel



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 november 2012 - 14:46

Hallo :)

Bij natuurkunde ging het over twee kogels die werd afgeschoten met dezelfde snelheid (zie plaatje, mijn excuses voor zijn schoonheid) en de vraag was welke kogel eerder zijn doel zou raken. Dat was niet zo moeilijk, maar op weg naar huis met een klasgenoot kwamen we met de vraag welke kogel de hoogste gemiddelde snelheid zou hebben. We hadden een aantal manieren waarom we het dachten te kunnen oplossen, maar tot nu toe is het niet gelukt. Elke snelheid is trouwens positief, naar boven en naar beneden. Verder is er geen luchtweerstand.

Eerste manier: wiskundig
De baan van de kogel kan worden beschreven met een redelijk simpele formule van een parabool. Mijn idee was dan om de lengte van de baan te berekenen en de tijd dat hij in de lucht was. Die door elkaar te delen en dan de hoek als x invullen. Daaruit zou dan (al dan niet grafisch met de rekenmachine) uit te berekenen moeten zijn wat de maximale gemiddelde snelheid is bij welke hoek.
Ik heb dit geprobeerd, maar ik liep vast bij het berekenen van de lengte van de baan, omdat er een +1 in de formule zit, sqrt(1+f'(x)^2). Het lukt me niet met integreren bij zo'n wortelfunctie, dat heb ik nog niet geleerd / hoef ik niet te leren (ik zit in VWO 6).

Tweede manier: natuurkundig
In het begin is de kinetische energie hetzelfde (zelfde snelheid) en de hoogte-energie is allebei 0. Daardoor lijkt het mij, vanuit symmetrisch oogpunt, het logisch dat de kogels beide dezelfde gemiddelde snelheid zullen hebben, onder welke hoek ze ook zouden worden afgeschoten. Ik kan hier echter geen hard bewijs voor geven, dus ben ik er niet echt zeker van.

Derde manier: combinatie
Als je de snelheden splitst in een verticale en een horizontale component is het mogelijk om een mooi grafiekje te maken. De verticale snelheid zal dan lijken op een grafiek als abs(x-3) of iets dergelijks, de horizontale snelheid is een constante. Als je alleen naar de gemiddelde verticale snelheid kijkt, zal die hoger liggen bij een kogel waarbij de hoek met de grond groter is. De gemiddelde snelheid is dan immers hetzelfde als de helft van de maximale snelheid. Je zou die grafieken dan bij elkaar kunnen optellen met Pythagoras en daaruit de grootst gemiddelde snelheid berekenen. Ik weet echter niet of dit juist is.

Kortom, ik kom er niet uit. Mocht er een antwoord zijn, dan lijkt het mij dat het of 45° of 90° is, maar ook daarvoor heb ik geen logische reden. Als iemand weet hoe ik verder kan komen dan zou ik heel erg dankbaar zijn :)

Beroemdheid

Bijgevoegde miniaturen

  • Naamloos.png

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44871 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 november 2012 - 15:39

http://www.cs.mtu.ed...2/p-length.html

Daar vind je een bruikbaar uitgewerkte formule om de lengte van je paraboolsegment te berekenen.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#3

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 november 2012 - 17:58

Ik heb het nu helemaal uitgeschreven en als ik de functie van de gemiddelde snelheid t.o.v. de hoek plot wordt die steeds groter naarmate de hoek groter is. Er is een asymptoot bij 90°, maar dat komt denk ik omdat je dan geen parabool meer beschrijft.
In ieder geval, klopt het dat met een grotere hoek, je een grotere gemiddelde snelheid krijgt?

#4

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44871 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 november 2012 - 18:27

Ik weet niet of de formule waar ik hierboven heen verwees helemaal kosher is.
Ik was eens benieuwd en heb hem in excel gestopt. Klopt perfect voor een schootshoek van nagenoeg 90° met de horizontaal, maar voor de parabool bij een schootshoek van 1° rolt er een paraboollengte van bijna 2,3 m uit, terwijl de kogel 1,6 m ver komt en slechts een hoogte van 1,39 cm bereikt. Dat kan dus haast niet. Fout in de formule op die site, of een fout in de formule in mijn sheet....

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#5

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44871 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 november 2012 - 19:07

al een foutje in mijn sheet gevonden, maar dat verbetert het probleem niet.

Bij 1° komt de kogel niet 1,6 m ver, maar 3,2 meter.

intussen nog een andere formule gevonden, moet die nog invoeren.

http://www.numerican...er/calculus.htm
paraboollengte.PNG
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#6

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44871 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 november 2012 - 19:33

Ook die nu ingevoerd en gecheckt, die klopt qua definitie van "x" in de tekening niet helemaal, maar geeft verder wel logische resultaten.


EDIT: nog eentje, weer een beetje anders.... :?
http://www.had2know....ength-area.html
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#7

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44871 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 november 2012 - 19:50

In ieder geval, klopt het dat met een grotere hoek, je een grotere gemiddelde snelheid krijgt?

Als je de hoek met de horizontaal bedoelt, nee.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#8

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 november 2012 - 16:30

Is er nou een formule voor de lengte van een parabool? Ik weet zelf ook niet echt wat ik moet vertrouwen.

Als je de hoek met de horizontaal bedoelt, nee.

Die bedoel ik inderdaad. Maar als je weet dat dat zo is, in welke hoek moet ik het dan zoeken om erachter te komen wanneer die wel maximaal is?

EDIT: hehe, hoek :P

Veranderd door Beroemdheid, 25 november 2012 - 16:33


#9

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44871 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 november 2012 - 16:55

In dit soort gevallen ga je denken in extremen.

Neem een hele steile parabool (schootshoek 89°) en volg in gedachten je kogel. We zien een kogel die wegschiet met bijvoorbeeld 30 m/s en op zijn hoogste punt een snelheid van 0 m/s heeft. (de horizontale snelheid is nagenoeg 0, dus die verwaarlozen we in dit gedachtenexperiment)

Bij een eenparige versnelling geldt LaTeX

een kogel afgeschoten met 30 m/s zal dus over heel de parabool genomen een gemiddelde snelheid van 15 m/s hebben.

Nou naar het andere extreem:
we schieten onder een heel kleine schootshoek af, 1°. De horizontale snelheid is nu bijna 30 m/s, en verandert onderweg niet. De verticale snelheid is zeer klein ........................

trek je eigen conclusie over de gemiddelde snelheid bij het volgen van deze vlakke parabool...........
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#10

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 november 2012 - 18:48

Ja, ik snap het nu :) Ik heb nu ook met de derde manier geprobeerd om de gemiddelde snelheid uit te drukken t.o.v. de hoek. Daar kom ik uit op LaTeX
Dan klopt het ook qua hoek, bij een hoek van 0° is die 1, bij 90° 0,5.

Bedankt ^^

#11

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44871 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 november 2012 - 19:28

en doorredenerend voor tussenliggende hoeken? Hoe weet je zeker dat je ergens bij een tussenliggende hoek gemiddeld niet meer dan 30 m/s zult halen, maar ook niet meer dan 15?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#12

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 november 2012 - 20:59

Nou, het was niet zozeer dat ik het zomaar heb geprobeerd om die formule te vinden omdat ik wist wat het antwoord bij 0° en 90° zou zijn. Ik heb het gewoon via Pythagoras opgeteld met de horizontale snelheid en de gemiddelde verticale snelheid. Daarom denk ik ook dat die klopt voor de tussenliggende hoeken (en het verloop van de grafiek tussen 0° en 90° zit ook tussen de 1 en 0,5.

EDIT: zie ook de derde manier in de beginpost.

Veranderd door Beroemdheid, 26 november 2012 - 21:02


#13

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44871 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 november 2012 - 21:07

Daarom denk ik ook dat die klopt voor de tussenliggende hoeken

In de wetenschap moet je dat soort denken aan de paarden overlaten, die hebben grotere hoofden dan wij. :P .

Je checkt dat, en/of je beredeneert...... :-k

(en het verloop van de grafiek tussen 0° en 90° zit ook tussen de 1 en 0,5.

welke grafiek?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#14

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 november 2012 - 22:00

In de wetenschap moet je dat soort denken aan de paarden overlaten, die hebben grotere hoofden dan wij. :P .

Je checkt dat, en/of je beredeneert...... :-k

In mijn hoofd heb ik het al beredeneerd, ik heb het alleen nog niet opgeschreven hier. Ik denk dat je de gemiddelde baansnelheid kan berekenen door ze eerst op te splitsen in een horizontale en een verticale component. De gemiddelde horizontale snelheid is dezelfde als de horizontale snelheid in het begin, oftewel LaTeX . De gemiddelde verticale snelheid is de helft van de verticale beginsnelheid (dat heb je daarboven ook nog gezegd): LaTeX . Daardoor zal de gemiddelde baansnelheid de diagonaal zijn van die twee vectoren die je optelt (misschien een beetje wazig verwoord). Dat doe je dmv Pythagoras, oftewel de wortel van twee kwadraten. Daar komt die formule vandaan.

Ondanks dat ik mijn redenatie heb opgeschreven denk ik het nog steeds en weet ik niet zeker.

De grafiek ging over als je die als plot op een 'factor',x-grafiek (x is de hoek). Ik kan even geen grafiek laten zien, maar ik mag toch aannemen dat ik het goed gezien heb dat de grafiek tussen de 0,5 en 1 blijft. Tenzij er ergens bij een hoek van 33,56° (of elke andere willekeurige hoek) het blijkt dat die functie 4 blijkt te geven, maar dat lijkt me erg onwaarschijnlijk gezien de oorsprong van de functie, namelijk een vloeiende sinus en cosinus. En met erg onwaarschijnlijk bedoel ik eigenlijk dat het gewoon niet zo is :)

#15

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44871 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 november 2012 - 00:24

OK, ik denk dat er goed over nagedacht is. Mijn verdenking dat je zomaar wat dacht was een verkeerde gedachte.
:P
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270






Also tagged with one or more of these keywords: natuurkunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures