taylor series bij GPS

terrait

Beste mensen, ik heb een vraag over plaatsbepaling uit code-afstanden. Als je even naar http://mail.vssd.nl/hlf/a032.pdf gaat en dan bij hoofdstuk 5.3 kijkt, dan snap ik niet hoe hij van de eerste vergelijking bij 5.12 naar de tweede gaat. Kan iemand met enige kennis over taylor series mij op weg helpen? (ik zit in 6VWO met wiskunde D en wiskunde B en heb dit nodig voor mijn PWS)

Xenion

Er wordt niks moeilijks gedaan ofzo. Het is gewoon een kwestie van de juiste formule toepassen.

Vaak worden de termen met de afgeleiden van orde > 2 weggelaten om het rekenwerk te vereenvoudigen.

Ik snap dat dit ingewikkeld lijkt als je het nog nooit gezien hebt, maar ik hoop dat je met de volgende uitleg toch de basis al begrijpt. Werk ook zeker eens het voorbeeld uit dat ik onderaan mijn post geef.

Je kan elke functie f(x) schrijven als een Taylor reeks rond een bepaald punt voor x=a. Die Taylor reeks is een oneindige som en alle afgeleiden van de functie komen erin voor.

Formeel heb je voor 1 variabele de volgende formule:

\(f(x) = f(a) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n\)

met

\(f^{n}(a)\)

de n-de afgeleide van f(x) en daarin x=a ingevuld.

Merk op dat de Taylor reeks eigenlijk een veelterm is. Als je wil zien wat hij doet, stel dan eens de Taylor veelterm van f(x) = sin(x) op in het punt a = 0 en teken zowel de originele functie als de Taylor veelterm. Doe het eens voor orde 1,2 en 3 en kijk wat er gebeurt als de orde groter wordt.

terrait

Xenion schreef: ↑za 24 nov 2012, 20:01
Formeel heb je voor 1 variabele de volgende formule:

\(f(x) = f(a) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n\)
met
\(f^{n}(a)\)
de n-de afgeleide van f(x) en daarin x=a ingevuld.

Merk op dat de Taylor reeks eigenlijk een veelterm is. Als je wil zien wat hij doet, stel dan eens de Taylor veelterm van f(x) = sin(x) op in het punt a = 0 en teken zowel de originele functie als de Taylor veelterm. Doe het eens voor orde 1,2 en 3 en kijk wat er gebeurt als de orde groter wordt.

Ok ik krijg bij sin(x): x - (x^3)/6 bij 5 ordes en ik zie dat naarmate je meer ordes gebruikt de grafiek steeds meer op sinx lijkt. Maar ik vraag me eigenlijk af wat hij precies bedoelt met verwaarlozing van de hogere orde termen: hoger dan welke precies? En waarom gebruikt hij eigenlijk überhaupt de taylor reeks hier? En zet hij a ook op 0, wat gebeurt er eigenlijk als je a op 1 zet ?

Drieske

Wat gebeurt er met jouw Taylor veelterm als je niet rond 0 maar rond 1 ontwikkelt?

En normaal heb je hier ook wel iets aan...

PS: Wikipedia ivm Taylor veeltermen

Opmerking moderator

Verplaatst naar Analyse.

Xenion

terrait schreef: ↑zo 25 nov 2012, 14:32
En zet hij a ook op 0, wat gebeurt er eigenlijk als je a op 1 zet ?

Zet a eens op 1 in het voorbeeld met sin(x) en kijk eens wat dat geeft.

Met 'hogere orde termen verwaarlozen' wordt bedoeld dat je de Taylor veelterm beperkt tot de termen met de 0de en 1e afgeleide (of de termen van de veelterm vanaf x² niet meer berekenen). Op die manier krijg je een lineaire benadering rond een 'werkpunt' dat je zelf kiest.

Je stelt eigenlijk de raaklijn (of in meerdere dimensies het raakvlak) aan de functie op.

terrait

Drieske schreef: ↑zo 25 nov 2012, 14:42
Wat gebeurt er met jouw Taylor veelterm als je niet rond 0 maar rond 1 ontwikkelt?

En normaal heb je hier ook wel iets aan...

PS: Wikipedia ivm Taylor veeltermen

Opmerking moderator
Verplaatst naar Analyse.

Ok ik zie dat als ik voor a niet 0 maar 1 gebruik de formule helemaal niet mooi uitkomt (sin1 + cos1(x-1) etc en dan zouden we die waardes al moeten kennen). Dus in principe kunnen we voor a elk getal in vullen alleen we gebruiken a=0, omdat het mooi uitkomt?

Ik heb op youtube een filmpje gevonden waar iemand taylor polynomials met twee variabele gebruikt.

Op het einde vraagt hij hetzelfde te doen aan ons alleen dan voor (0,98^3+2,03^3)^0.5 . Ik krijg dan 3 + (-0,06/6) + (0,36/6) = 3 + (0,3/6) = 3,05. Dit is een goede benadering want mijn rekenmachine geeft ook zoiets aan.

Dus uiteindelijk is dit eigenlijk voor een goede benadering voor een berekening als je geen rekenmachine bij de hand hebt? Ik snap eigenlijk het nut er niet van..(ik wil niet arrogant overkomen, het zal vast wel nut hebben maar ik zie het gewoon niet)

Xenion

terrait schreef: ↑zo 25 nov 2012, 15:14
Ok ik zie dat als ik voor a niet 0 maar 1 gebruik de formule helemaal niet mooi uitkomt (sin1 + cos1(x-1) etc en dan zouden we die waardes al moeten kennen). Dus in principe kunnen we voor a elk getal in vullen alleen we gebruiken a=0, omdat het mooi uitkomt?

Nee, misschien dat 1 niet zo'n goed voorbeeld was, want daarmee zie je niet zo goed wat er gebeurt. Geef eens a = pi in ofzo. Dan komt de formule ook min of meer 'mooi uit', maar je als je de grafiek tekent zou je iets moeten opmerken.

(Het speciale geval voor a = 0 heeft overigens de Maclaurin reeks.)

Het nut van deze formule is dat je er makkelijk benaderingen mee kan maken. Vaak ben je slechts geïnteresseerd in het gedrag van een functie in een bepaald gebied. Dan is het makkelijker als je die functie kan uitdrukken als een veelterm ipv een ingewikkelde combinatie van goniometrische functies.

Het maakt niet uit of je een rekenmachine nodig hebt of niet, veeltermen zijn sowieso makkelijker om analytisch mee verder te rekenen.

terrait

Xenion schreef: ↑zo 25 nov 2012, 15:40
Nee, misschien dat 1 niet zo'n goed voorbeeld was, want daarmee zie je niet zo goed wat er gebeurt. Geef eens a = pi in ofzo. Dan komt de formule ook min of meer 'mooi uit', maar je als je de grafiek tekent zou je iets moeten opmerken.

(Het speciale geval voor a = 0 heeft overigens de Maclaurin reeks.)

Het nut van deze formule is dat je er makkelijk benaderingen mee kan maken. Vaak ben je slechts geïnteresseerd in het gedrag van een functie in een bepaald gebied. Dan is het makkelijker als je die functie kan uitdrukken als een veelterm ipv een ingewikkelde combinatie van goniometrische functies.

Het maakt niet uit of je een rekenmachine nodig hebt of niet, veeltermen zijn sowieso makkelijker om analytisch mee verder te rekenen.

Voor a= pi krijg ik -(x-pi)+((x-pi)^3)/6 bij 5 ordes. Ik denk trouwens dat ik wel snap wat je bedoelt, want als ik de grafiek plot krijg ik een benadering rond x=pi. Maar als ik deze polynoom tot een oneindig grote orde zou uitwerken, dan zou ik toch wel dezelfde functie krijgen als die bij a=0 voor een oneindig grote orde?

Xenion

Ja, zoals je zelf al hebt gezien krijg je met meer termen een benadering in een groter gebied. Met oneindig veel termen maakt het niet meer uit welk 'werkpunt' je kiest.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

taylor series bij GPS

taylor series bij GPS

Re: taylor series bij GPS

Re: taylor series bij GPS

Re: taylor series bij GPS

Re: taylor series bij GPS

Re: taylor series bij GPS

Re: taylor series bij GPS

Re: taylor series bij GPS

Re: taylor series bij GPS