Ik zie niet hoe dit makkelijk zou moeten kunnen... het kan wel zo: Eerst moet je de kansdichtheid voor v bepalen. Ik kies v=x+y. Als je immers bewezen hebt dat het voor x+y en a*x geldt dan heb je ook lineariteit bewezen. Omdat X en Y onafhankelijk zijn:
\( f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)\)
dan geldt dus (dit is de integraal over het oppervlak onder de lijn y=v-x):
\(F_V(v) = \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{v-x}{f_X(x) \cdot f_Y(y) dy} dx} = \int_{-\infty}^{\infty}{f_X(x) \cdot \int_{-\infty}^{v-x}{f_Y(y) dy} dx} = \int_{-\infty}^{\infty}{f_X(x) \cdot F_Y(v-x) dx}\)
Hieruit kun je de kansdichtheid voor V bepalen:
\(f_V(v) = \frac{d}{dv} F_V(v) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_X(x) \cdot f_Y(v-x) dx}\)
Let op! De x in deze formule heeft niks te maken met X. Je zou net zo goed u kunnen gebruiken en voor de duidelijkheid doe ik dat ook.
\(f_V(v) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_X(u) \cdot f_Y(v-u) du}\)
De verwachtingswaarde voor V is:
\(\int_{-\infty}^{\infty}{v \cdot f_V(v) dv} = \int_{-\infty}^{\infty}{v \cdot \int_{-\infty}^{\infty}{f_X(u) \cdot f_Y(v-u) du} dv}= \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{v \cdot f_X(u) \cdot f_Y(v-u) du} dv}\)
Dit is een integraal over een oppervlak. Deze kunnen we transformeren van u en v naar x en y. We kiezen daarvoor:
\(u = x\)
\(v = x+y\)
Voor de transformatie moeten we de Jacobiaan bepalen:
\(J = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 1\)
Er geldt dus:
\(du dv = J dx dy = dx dy\)
De integraal wordt dus:
\(= \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{(x+y) \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) dx} dy} = \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) + y \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) dx} dy}\)
\(= \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) dx} dy} + \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{ y \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) dx} dy}\)
\(= \int_{-\infty}^{\infty}{f_Y(y)\cdot \int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f_X(x) dx} dy} + \int_{-\infty}^{\infty}{y \cdot f_Y(y) \cdot \int_{-\infty}^{\infty}{ f_X(x) dx} dy}\)
\(= \int_{-\infty}^{\infty}{f_Y(y)\cdot E[X] dy} + \int_{-\infty}^{\infty}{y \cdot f_Y(y) dy} = E[X] \cdot \int_{-\infty}^{\infty}{f_Y(y) dy} + E[Y] = E[X] + E[Y]\)
Dit gecombineerd met E[a X] = a E[X] bewijst lineariteit.