We hebben bewezen dat
\( \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} (\sqrt2)\)
door te zeggen dat
\( \sqrt{3} = a + b* \sqrt{2} \)
en dan allebei de zijdes te kwadrateren. Uiteindelijk krijg je dan dat
\( \sqrt{2}\)
een breuk moet zijn, wat het natuurlijk niet is. Dus
\( \sqrt{3}\)
is niet in die vorm te schrijven.
Daarna moesten we aantonen of
\( \sqrt{3+2\sqrt{2}} \in \mathbb{Q} (\sqrt2) \)
Dit is natuurlijk wel zo want
\( \sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2} \)
Maar als ik het aanpak als de wortel drie dan krijg ik dus dat :
\( \sqrt{3+2\sqrt{2}} = a + b* \sqrt{2} \)
Als ik dan kwadrateer krijg ik na de wortel naar een kant te brengen en te delen:
\( \sqrt{2} = \frac{a^{2} + 2*b^{2} -3}{2-2ab} \)
En dan krijg ik dus dat wortel twee een breuk moet zijn, wat het niet is....
Maar hoe bewijs ik dan met het kwadrateren dat het wel in de vorm van
\( a+b\sqrt{2} \)
is?