Springen naar inhoud

Stelselvergelijkingen van 2 of meer variabelen (zonder matrices)



  • Log in om te kunnen reageren

#1

GenGF

    GenGF


  • 0 - 25 berichten
  • 22 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 december 2012 - 13:43

Hallo allen,

Een jaar of wat geleden hebben wij moeten leren hoe je stelselvergelijkingen opstelt en hoe je deze oplost. Nu is mijn wiskundevaardigheid nooit geweldig geweest, maar nu we deze kennis opnieuw toe moeten passen loop ik klem op de pittigere opgaven. Mijn excuses als het verhaal te lang wordt, maar dit voorkomt latere vragen om meer achtergrond informatie. Het probleem zelf begint vanaf de rode markering.

Achtergrond: HTS Elektrotechniek, Wiskunde opdracht. Probleem treed op tijdens Laplace transformaties, maar is niet Laplace specifiek. Methodes als Gauss-Jordan zijn niet toegestaan.

Laat ik beginnen met een voorbeeld. 's' geldt als variabele.

Los op met behulp van Laplace transformatie:
y' + 3 y = sin(t)
y(0) = 1

Het begin wil prima.
sY + 3Y - 1 = (s2 + 1)-1
(s+3)Y = (s2 + 1)-1 + 1
Y = ((s + 3)(s2 + 1))-1 + (s + 3)-1

Breuksplitsen tot standaardvormen:

Y = A/(s + 3) + (Bs + C)/(s2 + 1)
As2 + A + Bs2 + 3 Bs + Cs + 3C = 1

Nu komt het

A + B = 0
3B + C = 0
A + 3 C = 1

Uit de bovenste 2 concludeer ik dat A - (1/3)C = 0
Uit deze conclusie en de onderste regel van het stelsel valt te halen dat A = 1/10 en C = 3/10.
Tenminste, als ik het stelsel zou schetsen (wat ik handmatig niet kan aangezien ik daar de oplossing voor nodig heb).

A3C.jpg
(wolframalpha.com)

Uiteraard moet B dan wel -A = - 1/10 zijn.

Achteraf invullen laat zien dat het klopt. 1/10 + 9/10 = 1, 1/10 - 1/10 = 0.
Maar hoe verzin je zoiets? Er zullen vast mensen zijn die dit direct 'zien', maar ik ben niet een van die mensen. Later wil ik mij nog eens in matrix rekenen verdiepen om dergelijke problemen mee op te lossen, maar dat is in dit geval niet de opdracht.

Er zijn meer van dit soort sommen waar ik niet uit kom, ik hoop straks een methode te kennen die ook op nog minder overzichtelijke sommen toepasbaar is.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JKZ

    JKZ


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2012 - 14:34

Ik laat eerst iets zien met eerste-orde factoren in de noemer

Teller/(s+a)(s+b)(s+c)) = A/(s+a) + B/(s+b) + C/(s+c)
Het = teken moet eigenlijk met drie streepjes, want het geldt niet slechts voor één waarde van s.
Vermenigvuldig alles met s+a en stel vervolgens s=-a
In het rechterlid is A helemaal "schoon".
In het linkerlid is in de noemer (s+a) weg en s is vervangen door -a
B en C vind je op dezelfde manier.

#3

JKZ

    JKZ


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2012 - 15:09

Nu die 1/ ((s+3)(s2+1)) = A/(s+3) + (Bs + C) /(s2 +1)
Net geleerd A = 1/(s2+1) met ingevuld s=-3 dus 0,1
Trek nu 0,1/(s+3) af van het linkerlid (maak er eerst 0,1(s2+1)/ .... van), en daar komen je B en C.

Ook wel eens gezien, niet altijd makkelijk: s2+1 behandelen als s + j maal s - j, terug naar eerste orde dus maar dan wel complex. Geeft bij terugtransformeren complexe e-machten in toegevoegd complexe paren die je dan kunt samenvoegen tot meestal gedempte sinusoïdes.

#4

JKZ

    JKZ


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2012 - 15:44

De echte wiskundigen hoor ik al mopperen dat (s + 3)/ (s+3) bij s=-3 niet één is maar onbepaald, nul gedeeld door nul. Daarom zeg ik nog even dat ik natuurlijk de limiet bedoel, voor s naar -3. dan zijn die ook weer tevreden.

#5

GenGF

    GenGF


  • 0 - 25 berichten
  • 22 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 december 2012 - 16:26

Even heel hard nadenken, ik hoop dat ik je punten correct interpreteer.

Je eerste post:
Wanneer ik s interpreteer als -a ( A(s+a)/(s+a) => (A*0)/0), ga ik ongelooflijk op mijn kop krijgen voor het bedrijven van illegale wiskunde. -a+a is per definitie 0, ik mis even wat een limiet daar aan kan veranderen. Die zijn voor het beperken van het bereik van een variabele, iets wat in dit geval niet gaat helpen (tenzij ik het verkeerd zie natuurlijk).

Tweede post:
Ik mis even waar je de stelling A = 1/(s2+1) vandaan haalt.

Derde post:
Als de limiet stelt dat we niet helemaal naar -3 kunnen maar we vullen bijvoorbeeld 2,9 in.
(-2,9 + 3)/(-2,9 + 3) = 0,1/0,1 is 1.
Dan hadden we net zo goed s=0 in kunnen vullen, aangezien 3/3 ook 1 is.

#6

JKZ

    JKZ


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2012 - 18:16

Die A in mijn tweede post krijg ik op de manier zoals in de eerste getoond: s+3 in de noemer van de oorspronkelijke vorm weg laten en s=-3 stellen.
(s+3)/(s+3) = 1 stellen mag zoals de wiskundigen dat noemen "bijna overal", maar net niet in s=-3. Om goede vrienden met de wiskundigen te blijven zeggen we dan maar dat we s naar -3 laten naderen en de limiet nemen.
Om jou gerust te stellen: als we stellen
s= 2,99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999.
dan doen we niets dat niet mag, als we stellen (s+3)/(s+3) = 1 Niet helemaal nauwkeurig, ik geeft het toe, maar zou iemand het merken?











;

#7

JKZ

    JKZ


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2012 - 18:23

Nog even over je laatste zin: het mooie van s=-3 is nu juist dat er dan een term wegvalt, zodat je meteen ziet wat A is.

#8

JKZ

    JKZ


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2012 - 22:44

Ik ga proberen het wat duidelijker te maken.
Breukspltsen 5/ ((s+2)(s+3)(s+4)) = A/(s+2) + B/(s+3)+ C/(s+4)
Om A te vinden vermenigvuldig ik alles met s+2
5 (s+2)/ ((s+2)(s+3)(s+4)) = A(s+2)/(s+2) + B(s+2)/(s+3)+ C(s+2)/(s+4)
Laat s naar -2 naderen en bepaal de limieten. De limiet van (s+2) /(s+2) is 1.
Door de factor s+2 in de teller vallen dan de termen met B en C weg.
Aan de rechterkant houden we zo alleen A over.
Aan de linkerkant 5/ ((s+3)(s+4)) met daarin ingevuld s=-2 resultaat 5/2
Dat is dus alvast A.
A is dus de oorspronkelijke 5/((s+2)(s+3)(s+4)) met s+2 in de noemer weggelaten en vervolgens s= -2 gesteld.
Dit geconstateerd hebbende kunnen we dus B vinden door in de noemer s+3 weg te laten en vervolgens s=-3 te stellen 5/((s+2)(s+4)) wordt 5/((-1)(1)) = -5.
C = 5/((s+2)(s+3) met ingevuld s=-4 , resultaat 5/2
In het geval van die tweede graad in de noemer bepaal ik eerst de partiele breuk van de eerste graad en trek die van de oorspronkelijke vorm af.

#9

GenGF

    GenGF


  • 0 - 25 berichten
  • 22 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 december 2012 - 22:24

Bij deze wil ik JKZ danken voor alle moeite die hij gedaan heeft in het proberen. Maar hoe langer ik er over na denk en hoe meer mensen ik om raad vraag, hoe meer 'manieren' er boven tafel komen en hoe minder ik het kan reproduceren.

Limieten heb ik tot op heden enkel nodig gehad om de grenzen van situaties aan te geven. Een bepaalde vergelijking is alleen waar tussen t = 0 en t -> oneindig bijvoorbeeld. Limieten gebruiken om functies op te lossen is een ander verhaal. Vermenigvuldigen met (s+3)/(s+3) is geen probleem (vermenigvuldigen met 1 mag tenslotte altijd), maar vooral niet invullen. Ons is geleerd om vervolgens verder te uit-te-vermenigvuldigen en zo lang mogelijk geen waarde's in te vullen.

Helaas is het mij niet gelukt iets bruikbaars uit je verhaal over te houden JKZ. Desalnietemin bedankt voor de moeite.

#10

JKZ

    JKZ


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 december 2012 - 09:30

Bij deze wil ik JKZ danken voor alle moeite die hij gedaan heeft in het proberen. Maar hoe langer ik er over na denk en hoe meer mensen ik om raad vraag, hoe meer 'manieren' er boven tafel komen en hoe minder ik het kan reproduceren.

Limieten heb ik tot op heden enkel nodig gehad om de grenzen van situaties aan te geven. Een bepaalde vergelijking is alleen waar tussen t = 0 en t -> oneindig bijvoorbeeld. Limieten gebruiken om functies op te lossen is een ander verhaal. Vermenigvuldigen met (s+3)/(s+3) is geen probleem (vermenigvuldigen met 1 mag tenslotte altijd), maar vooral niet invullen. Ons is geleerd om vervolgens verder te uit-te-vermenigvuldigen en zo lang mogelijk geen waarde's in te vullen.

Helaas is het mij niet gelukt iets bruikbaars uit je verhaal over te houden JKZ. Desalnietemin bedankt voor de moeite.


Bewaar het en kijk er later nog eens naar. Het is de handigste manier, vind ik (heb het natuurlijk niet zelf uitgevonden) in het geval dat je voornamelijk eerstegraads factoren in de noemer hebt, het aardige is dat je geen stelsel van vergelijkingen krijg,t maar dat je de tellers van de partiële breuken los van elkaar een-voor-een kunt bepalen. Met twee of meer tweedegraadsfactoren in de noemer wordt het voordeel minder duidelijk.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures