Springen naar inhoud

Liniair onafhankelijk en voortbrengend, tegengestelde begrippen?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dawdaw007

    dawdaw007


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 december 2012 - 14:03

Ik had een klein vraagje ivm lineaire onafhankelijkheid en voortbrengendheid. De topictitel is niet echt duidelijk maar ik vond geen andere beschrijving.

Als je een basis voor een vectorruimte wilt opstellen moet deze lineair onafhankelijk en voortbrengend zijn. Nu weet ik wel hoe je dat nakijkt maar vraag ik mij af:

als een basis niet lineair onafhankelijk is, dus als een vector kan geschreven worden als lineaire combinatie van andere vectoren, is deze dan per definitie voortbrengend? En omgekeerd?

En hoe zou je dat, in het algemeen, kunnen bewijzen?

Alvast bedankt,

Dawid

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 december 2012 - 16:23

Je vraag is zeer vreemd, want

als een basis niet lineair onafhankelijk is, dus als een vector kan geschreven worden als lineaire combinatie van andere vectoren, is deze dan per definitie voortbrengend? En omgekeerd?

een basis per definitie al lineair onafhankelijk en voortbrengend. Zoals je zelf ook zegt in het begin. Een basis met toch een niet lineair onafhankelijke vector erin, is gewoon onmogelijk. Zou je je vraag dus wat kunnen verduidelijken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

dawdaw007

    dawdaw007


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2012 - 17:08

Ja sorry, ik ben hier nog nieuw in :)

Als je nakijkt of een stel vectoren al dan niet een basis is en dat is niet zo, want ze zijn niet lineair onafhankelijk, zijn ze dan per definitie voortbrengend? En omgekeerd?
Zo ja, is dit in het algemeen te bewijzen?

Veranderd door dawdaw007, 07 december 2012 - 17:09


#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 december 2012 - 18:01

Ik vrees dat je nog steeds niet duidelijk genoeg bent. Wàt moeten ze voortbrengen? De hele ruimte?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 december 2012 - 11:42

Als je nakijkt of een stel vectoren al dan niet een basis is en dat is niet zo, want ze zijn niet lineair onafhankelijk, zijn ze dan per definitie voortbrengend? En omgekeerd?
Zo ja, is dit in het algemeen te bewijzen?


Nee, dat is niet zo. Als een stel vectoren lineair afhankelijk is, kan het geen basis zijn. Maar het is niet noodzakelijk zo dat dat lineair afhankelijk stel wel voortbrengend zal zijn. Denk bijvoorbeeld aan {(1,0),(2,0)} in R²: deze vectoren zijn lineair afhankelijk, maar niet voortbrengend. Het kan natuurlijk wel, bv. met {(1,0),(2,0),(1,1)}, maar het is niet noodzakelijk zo.

Omgekeerd ook niet: een stel vectoren dat niet voortbrengend is, is niet noodzakelijk lineair onafhankelijk. Zo is het stel {(1,0,0),(0,1,0)} niet voortbrengend voor R³, maar wel lineair onafhankelijk, maar bijvoorbeeld is {(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)} ook niet voortbrengend voor R³, maar niet lineair onafhankelijk.

Het zijn dus geen 'tegengestelde' begrippen, zoals je eerder schreef.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 december 2012 - 13:16

Wat je zegt, klopt uiteraard, TD. Maar er is geen sluitend antwoord mogelijk momenteel, omdat er niet wordt gespecifieerd wàt je vectoren zouden moeten voortbrengen. Zonder context kun je namelijk niet zeggen of (1, 0, 0) voortbrengend is of niet. Voor heel R³, neen, maar voor een deelruimte ervan, ja.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 december 2012 - 13:21

als een basis niet lineair onafhankelijk is, dus als een vector kan geschreven worden als lineaire combinatie van andere vectoren, is deze dan per definitie voortbrengend? En omgekeerd?


Met een beetje 'begrijpend lezen': in eender welke vectorruimte is dat een 'implicatie' die 'niet geldt' (zonder context kan je dus wel zeggen dat dat in het algemeen niet zo hoeft te zijn), ik denk dat de vraag van dawdaw007 daarover ging; maar indien niet zullen we dat nog wel horen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

dawdaw007

    dawdaw007


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 december 2012 - 14:14

Bedankt TD, dat was inderdaad mijn vraag. Zoals gezegd ben ik hier echt nog een nul in, ik zal alleszins proberen eventuele toekomstige vragen specifieker te formuleren!

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 december 2012 - 15:57

Begrippen die wat aansluiten bij je vraag, en misschien ook wat zijn waar je op doelt, zijn "maximaal lineair onafhankelijk" (of "maximmal vrij") en "minimaal voortbrengend".
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures