Springen naar inhoud

Compactheid van een topologische ruimten aantonen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2012 - 12:54

Hallo,

Stel dat op LaTeX volgende topologie wordt gezet
LaTeX

Ik moet aantonen dat de topologische ruimte LaTeX compact is.

Ik weet dat compactheid in topologische ruimten betekent dat elke ultrafilter convergeert of dat iedere open overdekking een eindige deeloverdekking moet hebben, maar ik vind het nogal lastig om met deze begrippen te werken.

Iemand een suggestie?

Bvd.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2012 - 13:46

Probeer het eens met die overdekkingen. Als je één open set kiest, heb je al bijna heel N overdekt... Zie je dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2012 - 14:58

Probeer het eens met die overdekkingen. Als je één open set kiest, heb je al bijna heel N overdekt... Zie je dat?


Ik zou bijvoorbeeld LaTeX kunnen kiezen ...

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2012 - 15:03

Neenee. Niet zo. Je neemt gewoon een open overdekking. Willekeurig. Noem de overdekking (Oi)i in I met I een indexverzameling. Je moet nu aantonen dat er een eindige deeloverdekking bestaat. Neem dus gewoon een Oj uit je overdekking. Wat weet je nu? Hoe verder?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2012 - 15:38

Neenee. Niet zo. Je neemt gewoon een open overdekking. Willekeurig. Noem de overdekking (Oi)i in I met I een indexverzameling. Je moet nu aantonen dat er een eindige deeloverdekking bestaat. Neem dus gewoon een Oj uit je overdekking. Wat weet je nu? Hoe verder?


Ik weet dat die LaTeX open is, voor de rest weet ik niet wat ik hier over kan zeggen.

Nog een opmerking: De open delen zijn toch van de vorm LaTeX waarbij LaTeX eindig is en LaTeX ? Of niet? Bovendien kan ik LaTeX gemakkelijk eindig overdekken door het feit dat LaTeX

Ik heb nu gewoon even gezegd wat ik hierover weet, omdat ik niet echt op je vraag kan antwoorden ...

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2012 - 15:44

Ik weet dat die LaTeX

open is, voor de rest weet ik niet wat ik hier over kan zeggen.

Je weet dat het complement eindig is. Bijgevolg weet je dat je nog maar, zeg, m punten niet hebt overdekt. Hoe kan je dat nu oplossen? Hou nog steeds in het achterhoofd dat je uiteindelijke overdekking een deeloverdekking moet zijn van degene waarmee je begon!

Nog een opmerking: De open delen zijn toch van de vorm LaTeX

waarbij LaTeX eindig is en LaTeX ? Of niet? Bovendien kan ik LaTeX gemakkelijk eindig overdekken door het feit dat LaTeX

Neen! Het zijn net die met LaTeX . Dat staat ook zo in je openingspost. Verder is het voor deze vraag niet relevant dat je N met die twee verzamelingen kan overdekken ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2012 - 16:16

Je weet dat het complement eindig is. Bijgevolg weet je dat je nog maar, zeg, m punten niet hebt overdekt. Hoe kan je dat nu oplossen? Hou nog steeds in het achterhoofd dat je uiteindelijke overdekking een deeloverdekking moet zijn van degene waarmee je begon!

Neen! Het zijn net die met LaTeX

. Dat staat ook zo in je openingspost. Verder is het voor deze vraag niet relevant dat je N met die twee verzamelingen kan overdekken ;).


Ok, zijn complement is eindig, maar wat heb ik hier aan?

Even terzijde:
Maar als het diegene zijn met LaTeX dan zou LaTeX ook een open deel zijn, maar dat is toch niet zo?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2012 - 16:20

Ok, zijn complement is eindig, maar wat heb ik hier aan?

Noem de punten eens p1, ..., pm. Ze zijn allen verschillend van 0 (waarom? en waarom is dat nodig?). Je weet nu dat er Oi,k in de overdekking bestaan zodat Oi,n het punt pn bevat. Dus...?

Even terzijde:
Maar als het diegene zijn met LaTeX

dan zou LaTeX ook een open deel zijn, maar dat is toch niet zo?

Dat snap ik niet wat je nu bedoelt. Waarom zou dat een open deel zijn?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2012 - 16:41

Noem de punten eens p1, ..., pm. Ze zijn allen verschillend van 0 (waarom? en waarom is dat nodig?). Je weet nu dat er Oi,k in de overdekking bestaan zodat Oi,n het punt pn bevat. Dus...?

Ik kan er niet meer aan uit ... gaat het nu over de complementen van de open delen of de open delen zelf? Als je een open deel neemt dan heeft die nog enkele punten niet overdekt, maar 0 wordt zeker altijd overdekt (want die behoort tot elk open deel). Wat bedoel je juist met die LaTeX enz ...?

Dat snap ik niet wat je nu bedoelt. Waarom zou dat een open deel zijn?


Ik heb niet gezegd dat het een open deel is, want dat is het niet (want 0 zit er niet in). Dus wat ik eerder zei, dat de open delen van de topologie eruit zien als LaTeX met LaTeX eindig en 0 niet in A klopt dan toch? Want vanaf het moment dat 0 erin zit is er niet voldaan aan de eerste voorwaarde van de topologie (nl. 0 moet in elk open deel zitten).

Of ik begrijp het verkeerd?

Veranderd door Siron, 09 december 2012 - 16:42


#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2012 - 16:57

Ik kan er niet meer aan uit ... gaat het nu over de complementen van de open delen of de open delen zelf? Als je een open deel neemt dan heeft die nog enkele punten niet overdekt, maar 0 wordt zeker altijd overdekt (want die behoort tot elk open deel). Wat bedoel je juist met die LaTeX

enz ...?

Je begint met een open overdekking (Oi)i van je verzameling. Je wilt nu een eindige deeloverdekking construeren. Neem voor het gemak gewoon O1. Je weet dan dat O1 alles op een eindig aantal punten na overdekt. Noem deze punten p1 , ..., pk. We weten nu, omdat (Oi)i een overdekking is, dat er voor elk punt een open uit de overdekking bestaat die dat punt bevat. We noteren nu die open met Oi, n. Dus Oi, n bevat pn. Die i is misschien wat overbodig, dus als je je daar beter bij voelt, mag je die weglaten. Ben je nu terug mee?

Ik heb niet gezegd dat het een open deel is, want dat is het niet (want 0 zit er niet in). Dus wat ik eerder zei, dat de open delen van de topologie eruit zien als LaTeX

met LaTeX eindig en 0 niet in A klopt dan toch? Want vanaf het moment dat 0 erin zit is er niet voldaan aan de eerste voorwaarde van de topologie (nl. 0 moet in elk open deel zitten).

Of ik begrijp het verkeerd?

Ik zie nu dat ik je verkeerd had geïnterpreteerd. Het klopt inderdaad wat je hier zegt. Sorry.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2012 - 17:49

Je begint met een open overdekking (Oi)i van je verzameling. Je wilt nu een eindige deeloverdekking construeren. Neem voor het gemak gewoon O1. Je weet dan dat O1 alles op een eindig aantal punten na overdekt. Noem deze punten p1 , ..., pk. We weten nu, omdat (Oi)i een overdekking is, dat er voor elk punt een open uit de overdekking bestaat die dat punt bevat. We noteren nu die open met Oi, n. Dus Oi, n bevat pn. Die i is misschien wat overbodig, dus als je je daar beter bij voelt, mag je die weglaten. Ben je nu terug mee?.


Ik begrijp het denk ik

Stel LaTeX een open overdekking van LaTeX en beschouw het open deel LaTeX , dit open deel zal heel LaTeX op een eindig aantal punten LaTeX overdekken. Aangezien LaTeX een overdekking is moet er een open deel bestaan, zeg LaTeX dat het element LaTeX bevat (en dit voor alle elementen die nog niet overdekt waren door LaTeX ). Op die manier kunnen we een eindige deeloverdekking maken, nl.

LaTeX

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2012 - 17:52

Dat is inderdaad het idee. Je kunt dit nu trouwens veel algemener trekken: zij X een ruimte en definieer een topologie quasi zoals jij hierboven, maar laat de eis van 0 in je set vallen. We noemen dit de eindige complementen topologie. En elke ruimte is compact voor deze topologie. Het bewijs staat hierboven :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2012 - 17:55

Dat is inderdaad het idee. Je kunt dit nu trouwens veel algemener trekken: zij X een ruimte en definieer een topologie quasi zoals jij hierboven, maar laat de eis van 0 in je set vallen. We noemen dit de eindige complementen topologie. En elke ruimte is compact voor deze topologie. Het bewijs staat hierboven :).

Erg bedankt voor je hulp ;)

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 december 2012 - 17:58

Graag gedaan :). Succes nog!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures