[wiskunde] Complexe oplossingen

Francis Verhoeven

Hey iedereen!

Ik heb hier een vraagstukje waar ik niet uit kom over complexe getallen:

'Bepaal alle complexe oplossingen van vergelijking " ix⁴+ 1 = i ".

Als je alle oplossingen tekent in het complexe vlak, wat kan je daar dan over vertellen?'

Als oplossing dient er het oa. volgende uit te komen:

: 1.jpg (7.69 KiB) 421 keer bekeken

(de acht staat voor een achtste macht wortel)

Er zijn vier van zulke oplossingen, die de hoekpunten vormen van een vierkant met middelpunt de oorsprong en als zijde de achtstemachtwortel van 32.

Alle hulp is meer dan welkom, bij voorbaat dank

Francis

Safe

Francis Verhoeven schreef: ↑zo 09 dec 2012, 19:07
'Bepaal alle complexe oplossingen van vergelijking " ix⁴+ 1 = i ".

Als je alle oplossingen tekent in het complexe vlak, wat kan je daar dan over vertellen?'

Vaak noteren we verg in het complexe vlak met (bv): z^4=a, a complex (bv a=1+i)

Kan je in dit geval aangeven wat a is?

Heb je zo'n verg al eens gezien/opgelost?

dannypje

Ik zou x vervangen door (a+ib), dat invullen in de vergelijking, alles naar het linkerlid brengen en dan reele en imaginaire factor van linkerlid respectievelijk gelijkstellen aan reele en imaginaire factor van het rechterlid (rechterlid zijnde 0+i0 dus). Weet niet of het zal werken hoor, zelf nog aan het rekenen

Francis Verhoeven

Safe schreef: ↑zo 09 dec 2012, 20:05
Vaak noteren we verg in het complexe vlak met (bv): z^4=a, a complex (bv a=1+i)

Kan je in dit geval aangeven wat a is?

Nee, ik heb de hele opdracht hier weergegeven, dat is alles wat ik aan informatie heb.

Safe schreef: ↑zo 09 dec 2012, 20:05
Heb je zo'n verg al eens gezien/opgelost?

Nee nog nooit :s

Francis Verhoeven

dannypje schreef: ↑zo 09 dec 2012, 20:15
Ik zou x vervangen door (a+ib), dat invullen in de vergelijking, alles naar het linkerlid brengen en dan reele en imaginaire factor van linkerlid respectievelijk gelijkstellen aan reele en imaginaire factor van het rechterlid (rechterlid zijnde 0+i0 dus). Weet niet of het zal werken hoor, zelf nog aan het rekenen

Ik neem aan dat je een complex getal er in wilt werken?

Met i²=-1 kan je de vergelijking omschrijven naar 1 + i(x-1) = 0 waardoor je ook een complex getal krijgt.

Verder is x + iy = r*( cos(thèta) + i*sin(thèta) )

Safe

Francis Verhoeven schreef: ↑zo 09 dec 2012, 20:18
Nee, ik heb de hele opdracht hier weergegeven, dat is alles wat ik aan informatie heb.

Nee nog nooit :s

Ok, stel je hebt de verg: z^2=1, deze verg kan je zonder enige moeite oplossen (2 opl).

Maar nu, z^2=i , lukt dat ook?

Als je een verg z^2=i ziet, kan je dan iets zeggen van |z^2| en van Arg(z^2) of is deze aanpak onbekend voor jou?

Francis Verhoeven

Safe schreef: ↑zo 09 dec 2012, 20:50
|z^2| en van Arg(z^2)

Het eerste, met absoluutstrepen, ken ik, het deel met Arg ken ik niet.

Safe

Ok, laten we eens oplossen z^2=i, je zoekt twee z-waarden waarvan het kwadraat i oplevert, klopt dat?

|z^2|=|i|=... , dus |z|=...

Arg(z^2)=Arg(i)=... ,

Met Arg(a) bedoelen we het hoofdargument van het complexe getal a, is dit bekend?

Bv: Arg(1+i)=pi/4 en arg(1+i)=pi/4+k*2pi

Francis Verhoeven

|z^2|=|i|= de wortel van -1

Dus |z|= de vierdemachtswortel van -1

De term argument is mij helaas niet bekend.

Safe

Ok, teken eens het getal z=1+i in het complexe vlak (is dat bekend?). Teken uit O de (voer)straal naar dit punt. Wat is de hoek met de pos x-as? Wat is de lengte van deze voerstraal?

Ben je bekend met z=x+iy, in het complexe vlak?

Francis Verhoeven

Ben ik niet echt mee bekend, maar ik neem aan dat:

x=1 en y=1

Waardoor de lengte van de voerstraal wordt: r=wortel(2) en de hoek met de positieve x-as: pi/4 rad.

Safe

Mooi, dus |i+1|=wortel(2) (een reëel getal)

Arg(1+i)=pi/4.

Nu geldt: |z^2|=wortel(2) dus |z|=...

arg(z^2)=pi/4 +k*2pi, en arg(z^2)=2arg(z), dus volgt arg(z)=...

Alg: arg(z^n)=n*arg(z) en |z^n|=|z|^n

dannypje

Safe schreef: ↑zo 09 dec 2012, 22:26
Mooi, dus |i+1|=wortel(2) (een reëel getal)

Arg(1+i)=pi/4.

Nu geldt: |z^2|=wortel(2) dus |z|=...

arg(z^2)=pi/4 +k*2pi, en arg(z^2)=2arg(z), dus volgt arg(z)=...

Alg: arg(z^n)=n*arg(z) en |z^n|=|z|^n

Safe, als z = i+1, is dan |z^2| niet gelijk aan 2 ipv wortel 2 ?

Safe

dannypje schreef: ↑zo 09 dec 2012, 22:56
Safe, als z = i+1, is dan |z^2| niet gelijk aan 2 ipv wortel 2 ?

@dannypje, jij schrijft

z = i+1

Vraag: waar schrijf ik dat?

dannypje

Safe, ik denk in reply #10:

"Ok, teken eens het getal z=1+i in het complexe vlak (is dat bekend?). Teken uit O de (voer)straal naar dit punt. Wat is de hoek met de pos x-as? Wat is de lengte van deze voerstraal?"

Ik dacht dat je met die |z^2| daar nog op verder aan het redeneren was want anders vind ik reply #13 heel moeilijk te volgen want daar schrijf je:

"Mooi, dus |i+1|=wortel(2) (een reëel getal)

Arg(1+i)=pi/4.

Nu geldt: |z^2|=wortel(2) dus |z|=...

arg(z^2)=pi/4 +k*2pi, en arg(z^2)=2arg(z), dus volgt arg(z)=..."

snap niet goed waar die 3e regel vandaan komt anders. Waarom zou je hier een verband leggen tussen i+1 en z^2 ?

Zoals ik het zie:

Als z=1+i, dan is |z|=wortel 2 en arg(z)=pi/4

z^2 is dan (1+i)(1+i) zijnde 2i, en dus is |z^2|=2, en arg(z^2)=pi/2

Wat kan leiden tot jouw heel interessante veralgemening:

Alg: arg(z^n)=n*arg(z) en |z^n|=|z|^n

(alleen jammer dat je het met z=1+i niet zo duidelijk ziet want heb je vermenigvuldigd met 2 of tot de 2e macht verheven, dat komt in dit voorbeeld hier jammer genoeg op hetzelfde neer). Maar met die veralgemening is de OPs probleem perfect oplosbaar.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Complexe oplossingen

Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen

Re: Complexe oplossingen