Springen naar inhoud

Duidelijk patroon in priemgetallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Pieter B

    Pieter B


  • >100 berichten
  • 109 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 december 2012 - 21:54

Wanneer je mbv excel getallen 1 tot 10000 uitzet volgens het zonnebloempatroon, krijg je het volgende beeld:



Geplaatste afbeelding

Wanneer je nu alleen de priemgetallen laat zien, ziet het er zo uit:

Geplaatste afbeelding

Mijn vraag is natuurlijk: waarom is het logisch dat de priemgetallen zich op bepaalde assen concentreren en andere assen overslaan.
De tijd zal het leren

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_eezacque_*

  • Gast

Geplaatst op 09 december 2012 - 22:28

Ik heb hier geen excel: hoe is het zonnenbloempatroon gedefinieerd?

#3

Pieter B

    Pieter B


  • >100 berichten
  • 109 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 december 2012 - 22:52

bij een punt dat een getal n voorstelt geldt:
- de afstand tot de oorsprong is de wortel van n
- de hoek is (360-(360*0,61803))*n

Veranderd door Pieter B, 09 december 2012 - 22:52

De tijd zal het leren

#4

*_gast_eezacque_*

  • Gast

Geplaatst op 09 december 2012 - 23:31

Ik gok erop dat getallen op een as een veelvoud schelen?

#5

Pieter B

    Pieter B


  • >100 berichten
  • 109 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 december 2012 - 00:29

Okay, dat kan, maar hoe verklaar je dan de overgangen van de ene as in de andere, zoals rond wortel(n)=25 het geval is.
De tijd zal het leren

#6

*_gast_eezacque_*

  • Gast

Geplaatst op 10 december 2012 - 00:51

Daar durf ik zo niets over te zeggen. Je zou 'ns een gedetailleerdere uitwerking kunnen maken, met de getallen erbij?

#7

Benm

    Benm


  • >5k berichten
  • 8790 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 december 2012 - 02:27

Zulke plaatjes komen me wel bekend voor. Het is denk ik beter te kijken naar de niet-priemgetallen. Die bestaan allemaal uit factoren, waardoor er stukken 'wit' blijven.

Gevoelsmatig moet je het denk ik zo zien:

Priemgetallen zijn bijvoorbeeld nooit even (afgezien van 2)
Ze zijn nooit deelbaar door 3, afgezien van 3
Ze eindigen nooit op een 5, afgezien van 5
Ze eindigen nooit op een 0

Dit set voorwaarden kun je al halen uit de priemgetallen beneden de 10, en zorgt dus dat alles dat eindigt op 2,4,5,6,8 of 0 nooit een priemgetal is voor getallen boven de 10. Als je een grafiekje zou maken met eindcijfers op de ene as, en alle cijfers daarvoor in de breedte, dan zie je ook meteen 'lege strepen' ontstaan. Als je zoiets in de rondte plot zie je nog wat meer ontstaan: veelvouden verdwijnen dan ook als zulke lijnen, waarna je dergelijke mooie plaatjes kunt maken.

De priemgetallen vormen daarin patronen omdat ze verdeeld zijn over lijnen die niet vooraf zijn uitgesloten door voorwaarden als bovenstaande.

Veel voorspellende waarde heeft het overigens niet. Bedenk dat het vrij simpel is om relatief kleine priemgetallen te bepalen. Voor een getal van 1 miljoen hoef je met het domste algorithme maar 168 pogingen te doen (delen door ieder priemgetal onder de 1000). Dat is nog steeds 17% van de mogelijkheden.

Ga je kijken naar priemgetallen kleiner dan een biljard (10^12) dan hoef je maar 78000 delers te onderzoeken (7.8%). Dat gaat min of meer in een soortgelijke trend door, zolang je maar een lijst hebt met alle priemgetallen kleiner dan de wortel van hetgeen je wilt testen.

Voor praktische toepassing is het van belang te weten dat het bepalen of een getal van 10 cijfers priem is niet 2x zo moeilijk is dan voor een getal van 5 cijfers. Ondanks dat blijft het lastig te bepalen of zeer grote getallen priem zijn, waar in encryptie weer handig gebruik van gemaakt wordt (voor zolang het duurt).
Victory through technology

#8

Pieter B

    Pieter B


  • >100 berichten
  • 109 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 december 2012 - 12:07

Daar durf ik zo niets over te zeggen. Je zou 'ns een gedetailleerdere uitwerking kunnen maken, met de getallen erbij?

In principe is er geen informatie die nog ontbreekt. met de afstand en hoek kun je elk punt construeren:
Kolom 1: getallen n.....
kolom 2: wortel n (=afstand)
kolom 3: (360-(360*0,61803))*kolom1
kolom 4: x-coordinaat: kolom2*cos(kolom3)
kolom 5: y-coordinaat: kolom2*sin(kolom3)
En dan 'verspreiding' weergeven.

Ik zou niet weten hoe ik het plaatje nog meer inzichtelijk kan maken, getallen erbij zetten maakt ze zo klein dat ze niet te lezen zijn, of dat de structuur in de punten niet meer te zien is.

Besef goed dat het plaatje dat je ziet alle priemgetallen onder de 10000 heeft.

Zulke plaatjes komen me wel bekend voor. Het is denk ik beter te kijken naar de niet-priemgetallen.

dat is toch precies hetzelfde (plaatje)?

Gevoelsmatig moet je het denk ik zo zien:

Priemgetallen zijn bijvoorbeeld nooit even (afgezien van 2)
Ze zijn nooit deelbaar door 3, afgezien van 3
Ze eindigen nooit op een 5, afgezien van 5
Ze eindigen nooit op een 0

Dit set voorwaarden kun je al halen uit de priemgetallen beneden de 10, en zorgt dus dat alles dat eindigt op 2,4,5,6,8 of 0 nooit een priemgetal is voor getallen boven de 10. Als je een grafiekje zou maken met eindcijfers op de ene as, en alle cijfers daarvoor in de breedte, dan zie je ook meteen 'lege strepen' ontstaan. Als je zoiets in de rondte plot zie je nog wat meer ontstaan: veelvouden verdwijnen dan ook als zulke lijnen, waarna je dergelijke mooie plaatjes kunt maken.


Maar, zoals je wellicht al had kunnen lezen, is het niet zomaar zo dat bepaalde assen kunnen worden uitgesloten, althans de assen veranderen van richting gedurende je bij hogere getallen komt. Toch is in beide richtingen van de as het patroon blijvend te volgen en.
maw: de assen die de priemgetallen aanhouden zien er niet hetzelfde uit als bijvoorbeeld de lijn van getallen deelbaar door 3 (of 5 of 7), omdat die laatste lijn juist wel gewoon 1 lange lijn is die zich door de cirkel voortplant, en dus niet gedurende de cirkel van richting verandert.

De priemgetallen vormen daarin patronen omdat ze verdeeld zijn over lijnen die niet vooraf zijn uitgesloten door voorwaarden als bovenstaande.

Dat lijkt me evident. DAT het logisch is staat niet ter discussie. Ik vraag me dus juist af welke voorwaarde dit effect geeft.
De tijd zal het leren

#9

*_gast_eezacque_*

  • Gast

Geplaatst op 10 december 2012 - 16:23

Je hebt inderdaad alle informatie gegeven, waarvoor dank, en het is ook geen sinecure een gedetailleerdere afbeelding te maken. En toch is dat wat ik zelf zou proberen, waarschijnlijk voor wat minder priemgetallen, om inzicht te krijgen in de patronen...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures