Ja, dat is wat ik zocht. Met
\(\vec{e}_{wb}} = \vec{R}/|\vec{R}|}\)
(de eenheidsvector van w naar b) wordt het nog iets compacter:
\(f_w = f_b \frac{c+\vec{v}_{w}\cdot \vec{e}_{wb}}{c+\vec{v}_{b}\cdot \vec{e}_{wb}}\)
(zoals in de
Duitse wikpedia, zij het daar met de omgekeerde eenheidsvector
\(\vec{e}_{bw}}\)
).
Voor mij is het verhelderend dat de c en v
win de 1-dimensionale formule ongelijksoortig zijn.
Ook verhelderend dat de vectorformule geen mintekens bevat.
De 1-dimensionale variant met een min in de noemer is kennelijk een ezelsbrug voor gevallen waarin vooraf duidelijk is dat de afstand
\(|\vec{R}|}\)
daalt en de frequentie f
w stijgt (de ezelsbrug is dat je geen negatieve getallen hoeft in te vullen, dankzij de tekenafspraak dat snelheden positief worden gerekend
in de richting van het andere object).
Zoals er een complementaire ezelsbrug is voor gevallen waarin vooraf duidelijk is dat de afstand stijgt en de frequentie f
w daalt (weer geen negatieve getallen invullen, dankzij de aangepaste tekenafspraak dat snelheden positief worden gerekend
in de tegenovergestelde richting van het andere object). Doppler noteerde beide ezelsbruggetjes destijds in een combinatieformule met plus-of-mintekens:
\(f_w = f_b \frac{c \pm v_w}{c \mp v_b}\)
