Springen naar inhoud

Pi met veelhoeken


  • Log in om te kunnen reageren

#1

sjasogun1

    sjasogun1


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2012 - 12:23

Ik heb een poging gewaagd om pi met behulp van regelmatige, ingeschreven veelhoeken te benaderen en in één formule te vangen. De formule schijnt alleen niet te kloppen. Ik ben er tenminste vrij zeker van dat pi niet ongeveer twintigduizendnogwat is. Ik ben als volgt te werk gegaan:
LaTeX
Hierbij moet gelden dat LaTeX aangezien de veelhoek regelmatig is en een circel 360 graden heeft.
Ook geldt dat LaTeX omdat de veelhoek ingeschreven is (en dus in de hoekpunten aan de cirkel raakt) en bovendien regelmatig is, waardoor de driehoeken die ontstaan bij het verbinden van twee aangrenzende hoekpunten met het middelpunt van de cirkel gelijkbenig moeten zijn. Dit geeft ons het volgende:
LaTeX
LaTeX
pi vrijmaken
LaTeX
noemer en teller rechts kwadrateren (niet links en rechts kwadrateren, alleen de teller en noemer rechts)
LaTeX
boven LaTeX buiten de haakjes halen en uitdelen
LaTeX
LaTeX
Waarmee ook gelijk bewezen is dat de straal van de cirkel en pi onafhankelijk van elkaar zijn. Het probleem is echter dat deze formule (op mijn grafische rekenmachine) naar een veel te grote waarde nadert. Ik ben er tenminste vrij zeker van dat pi niet ongeveer tweeëndertigduizendnogwat is.

Mijn vraag is nu: wat heb ik verkeerd gedaan in het afleiden van de formule?

EDIT: Na het plotten van mijn formule zie ik dat de formule niet gewoon naar een te grote waarde nadert, maar zich daarvoor eerst erg chaotisch gedraagt. Zo geeft hij bij n=57 een waarde van 0.8633709901... terwijl hij daarvoor en daarna waarden van tussen de honderd en de duizend geeft. Nu ben ik echt verward.

Veranderd door sjasogun1, 11 december 2012 - 12:27

Veni, Vidi, Cecidi
(Ik kwam, ik zag, ik viel dood neer)
(PM me voor meer grappige combinaties!)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2012 - 12:39

Ehm als je rechts teller en noemer kwadrateert moet je links ook kwadrateren hoor.

als LaTeX dan geldt niet algemeen dat LaTeX . Sterker nog, dat geldt alleen als LaTeX (stel beide z aan elkaar gelijk).

Verder moet je zeker zijn dat het argument van cosinus in graden mag staan. Schrijf eens LaTeX in de plaats bij je berekening. Je moet dan wel rekening houden met het feit dat je LaTeX uitkomt.

Ik kom het dan althans uit http://www.wolframalpha.com/input/?i=n%5E2%2F2*%281-cos%282Pi%2Fn%29%29+n+to+infinity

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2012 - 13:44

LaTeX



Ik denk dat je RM niet op graden staat ...

#4

Dominus Temporis

    Dominus Temporis


  • >250 berichten
  • 620 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 11 december 2012 - 15:19

Ehm als je rechts teller en noemer kwadrateert moet je links ook kwadrateren hoor.

als LaTeX

dan geldt niet algemeen dat LaTeX . Sterker nog, dat geldt alleen als LaTeX (stel beide z aan elkaar gelijk).

Verder moet je zeker zijn dat het argument van cosinus in graden mag staan. Schrijf eens LaTeX in de plaats bij je berekening. Je moet dan wel rekening houden met het feit dat je LaTeX uitkomt.

Ik kom het dan althans uit http://www.wolframal...9+n+to+infinity


maar zelfs àls je de wortel neemt van het laatste, EN je schrijft 2pi (als je met radian werkt natuurlijk) ipv 360 (bij degree), kom je nog steeds geen pi uit..

Veranderd door Stekelbaarske, 11 december 2012 - 15:19

"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein

#5

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2012 - 16:23

Merk op dat LaTeX naar nul toe gaat, terwijl LaTeX naar oneindig gaat bij groeiende waarde van LaTeX . De limiet van het product van die twee uitrekenen is dus niet triviaal.

Nou weet ik niet hoe jouw rekenmachine met dit soort problemen om gaat, maar ik kan me goed voorstellen dat je rekenmachine de cosinus niet nauwkeurig genoeg uitrekent, wat tot grote afwijkingen kan leiden.

Veranderd door Math-E-Mad-X, 11 december 2012 - 16:24

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#6

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2012 - 16:42

Toen ik dit topic begon te lezen moest ik direct hieraan denken:

http://www.google.be...Q9QEwBA&dur=316

Ik zeg niet dat jij fout bezig bent, maar het is wel een leuke om eens te posten :)
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#7

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2012 - 19:21

Waarom niet gewerkt met de volgende formule
LaTeX
Naarmate je de n groter neemt, zal de uitkomst van de formule steeds dichter tot pi naderen.

#8

Dominus Temporis

    Dominus Temporis


  • >250 berichten
  • 620 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 11 december 2012 - 19:24

Waarom niet gewerkt met de volgende formule
LaTeX


Naarmate je de n groter neemt, zal de uitkomst van de formule steeds dichter tot pi naderen.

en in welk interval ligt n? want voor n = 100 ligt de uitkomst verder bij pi dan voor n = 7..
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein

#9

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2012 - 19:31

n=7 pi=3,0371
n=100 pi=3,141075

#10

Dominus Temporis

    Dominus Temporis


  • >250 berichten
  • 620 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 11 december 2012 - 19:33

sorry, ik had 'em niet ingevuld in de formule..

wat is de formule die je uiteindelijk gebruikt?
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein

#11

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2012 - 19:56

Als we een regelmatige n hoek nemen ,dan bestaat deze uit n gelijkbenige driehoeken met benen gelijk aan R
Die middelpuntshoek van 1 zo''n gelijkbenige driehoek is dan toch gelijk aan 360/n
De halve middelpuntshoek is dan LaTeX
Dan geldt dat LaTeX
Met 1/2a is de helft van 1 van die zijden van die veelhoek

#12

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2012 - 23:30

LaTeX
Omtrek veelhoek is n.a
LaTeX
Maar voor n nadert tot +oneindig zal n.a naderen tot LaTeX
LaTeX

#13

Dominus Temporis

    Dominus Temporis


  • >250 berichten
  • 620 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 11 december 2012 - 23:59

en dat, aadkr, vind ik een duidelijke formule om pi te benaderen :)

Veranderd door Stekelbaarske, 11 december 2012 - 23:59

"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein

#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 december 2012 - 12:07

@TS.
Laat zien dat de formule van aadkr direct volgt uit de formule van de TS.

#15

sjasogun1

    sjasogun1


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 december 2012 - 15:18

@JorisL
Je hebt inderdaad gelijk, ik heb een domme fout gemaakt met het kwadrateren (geen idee hoe ik dat over het hoofd heb kunnen zien), en mijn GR stond inderdaad nog op radialen. Nu doet de formule het verder prima.

@Safe
Oke, eens kijken of me dat lukt.
LaTeX
LaTeX
Met de verdubbelingsvormule LaTeX
LaTeX
LaTeX
Omdat LaTeX geldt LaTeX
worteltrekken geeft dan dus geen negatief antwoord:
LaTeX
LaTeX
LaTeX

@aadkr
Bedankt voor de compactere formule, die is inderdaad een stuk eenvoudiger te gebruiken!
Veni, Vidi, Cecidi
(Ik kwam, ik zag, ik viel dood neer)
(PM me voor meer grappige combinaties!)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures