Springen naar inhoud

parametrisatie curve


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kreator

    kreator


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2012 - 14:58

Bij een opgave in het boek "calculus ,een complete course" wordt naar een
parametrisatie van de doorsnede van 2 curves gevraagd:

Z=X2+Y2
en 2X-4Y-Z-1=0

als oplossing wordt r=(1+2cost) i - 2(1-sint) j + (9+4cost-8sint) k gegeven

dus X=1+2cost en Y=2sint-2
Waarom deze parametrisatie ? en niet x=cost en Y=sint ? (dan krijg je Z=1 en wordt
de oplossing eenvoudiger.)
Zit hier een logica achter ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Arekusan

    Arekusan


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2012 - 17:12

Wordt de opgave eenvoudiger als je de standaardparametrisatie gebruikt? Ik ga dat niet controleren. Misschien is het makkelijker, maar ik kan je wel uitleggen waar de gebruikte parametrisatie vandaan kan komen - het is namelijk niet zomaar uit de lucht gegrepen.

Als we de situatie eens algemeen bekijken, dan is voor:
LaTeX
LaTeX

en voor
LaTeX is
LaTeX .

(We willen hier geen d gebruiken in plaats van b, omdat LaTeX een cirkelvormige paraboloïde vormt, en geen elliptische vorm.)

Tel deze waarden bij elkaar op:
LaTeX

Verder is, als we bij de tweede curve z isoleren:
LaTeX

Als we deze vergelijkingen voor z met elkaar vergelijken, zien we dat we willen hebben a=1 en b=-2 (voor de coëfficiënten voor sin en cos) en dan vinden we even snel c=-2 door LaTeX gelijk te stellen aan LaTeX (we krijgen dan LaTeX ).

Veranderd door Arekusan, 16 december 2012 - 17:16


#3

kreator

    kreator


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2012 - 18:41

De vorm van de functie,in dit geval een cirkelvormige paraboloide bepaalt dus de parameterfunctie's.
Bedankt voor je heldere uitleg.

#4

*_gast_eezacque_*

  • Gast

Geplaatst op 16 december 2012 - 18:45

Bij een opgave in het boek "calculus ,een complete course" wordt naar een
parametrisatie van de doorsnede van 2 curves gevraagd:

Z=X2+Y2
en 2X-4Y-Z-1=0

als oplossing wordt r=(1+2cost) i - 2(1-sint) j + (9+4cost-8sint) k gegeven

dus X=1+2cost en Y=2sint-2
Waarom deze parametrisatie ? en niet x=cost en Y=sint ? (dan krijg je Z=1 en wordt
de oplossing eenvoudiger.)
Zit hier een logica achter ?


Het betreft hier een kegelsnede, een doorsnede van een halve kegel en een vlak. Zoiets levert een punt, een halve lijn, een parabool of een ellips op. Als je als parametrisatie x=cost, y=sint, z=1 kiest, dan beperk je je al meteen tot een tamelijk willekeurige kegelsnede, namelijk een cirkel met straal 1, en als je verder gaat oplossen, door je cirkel met het gegeven vlak te snijden, kom je uit op een paar losse punten, in plaats van de gedroomde kegelsnede.

Je zou dan inderdaad kunnen zeggen dat je oplossing eenvoudiger wordt, maar dat komt vooral doordat je het belangrijkste deel van de oplossing over het hoofd ziet. De enige manier om zoiets aan te pakken, is door heel conservatief je parameters te kiezen, en pas beperkingen op te leggen als je niet anders kunt.

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 16 december 2012 - 19:21

Z=X2+Y2
en 2X-4Y-Z-1=0

Waarom deze parametrisatie ? en niet x=cost en Y=sint ? (dan krijg je Z=1 en wordt
de oplossing eenvoudiger.)
Zit hier een logica achter ?


Jazeker is dat logica.
Jouw parametrisatie werkt als het stelsel:

Z=X2+Y2
en Z-1=0

gegeven zou zijn ... , zie je waarom het gaat?

#6

kreator

    kreator


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2012 - 22:03

Jazeker is dat logica.
Jouw parametrisatie werkt als het stelsel:

Z=X2+Y2
en Z-1=0

gegeven zou zijn ... , zie je waarom het gaat?

klopt :de paraboloide wordt op Z=1 gesneden i.p.v. Z = 2X-4Y-1=0 zoals eezacque aangaf





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures