parametrisatie curve

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 36

parametrisatie curve

Bij een opgave in het boek "calculus ,een complete course" wordt naar een

parametrisatie van de doorsnede van 2 curves gevraagd:

Z=X2+Y2

en 2X-4Y-Z-1=0

als oplossing wordt r=(1+2cost) i - 2(1-sint) j + (9+4cost-8sint) k gegeven

dus X=1+2cost en Y=2sint-2

Waarom deze parametrisatie ? en niet x=cost en Y=sint ? (dan krijg je Z=1 en wordt

de oplossing eenvoudiger.)

Zit hier een logica achter ?

Berichten: 2

Re: parametrisatie curve

Wordt de opgave eenvoudiger als je de standaardparametrisatie gebruikt? Ik ga dat niet controleren. Misschien is het makkelijker, maar ik kan je wel uitleggen waar de gebruikte parametrisatie vandaan kan komen - het is namelijk niet zomaar uit de lucht gegrepen.

Als we de situatie eens algemeen bekijken, dan is voor:
\(x= a + b\cos(t)\)
\(x^2 = a^2 + b^2\cos^2(t) + 2ab\cos(t)\)
en voor
\(y = c + b\sin(t)\)
is
\(y^2 = c^2 + b^2sin^2(t) + 2cb\sin(t)\)
.

(We willen hier geen d gebruiken in plaats van b, omdat
\(z=x^2+y^2\)
een cirkelvormige paraboloïde vormt, en geen elliptische vorm.)

Tel deze waarden bij elkaar op:
\(
a^2 + b^2\cos^2(t) + 2ab\cos(t) + c^2 + b^2sin^2(t) + 2cb\sin(t)

= b^2(\sin^2(t) + \cos^2(t)) + 2b(a\cos(t) + b\sin(t)) + a^2 + c^2

= a^2 + b^2 + c^2 + 2b(a\cos(t) + b\sin(t))

= z
\)
Verder is, als we bij de tweede curve z isoleren:
\(
z = 2x - 4y - 1

= 2(a + b\cos(t)) - 4(c + b\sin(t)) - 1

= 2a + 2b\cos(t)) - 4c - 4b\sin(t)) - 1

= 2b(cos(t) - 2sin(t)) + 2a - 4c - 1
\)
Als we deze vergelijkingen voor z met elkaar vergelijken, zien we dat we willen hebben a=1 en b=-2 (voor de coëfficiënten voor sin en cos) en dan vinden we even snel c=-2 door
\(a^2+b^2+c^2\)
gelijk te stellen aan
\(2a-4c-1\)
(we krijgen dan
\(c^2 + 4c + 4 = 0 = (c+2)^2\)
).

Berichten: 36

Re: parametrisatie curve

De vorm van de functie,in dit geval een cirkelvormige paraboloide bepaalt dus de parameterfunctie's.

Bedankt voor je heldere uitleg.

Re: parametrisatie curve

kreator schreef: zo 16 dec 2012, 14:58
Bij een opgave in het boek "calculus ,een complete course" wordt naar een

parametrisatie van de doorsnede van 2 curves gevraagd:

Z=X2+Y2

en 2X-4Y-Z-1=0

als oplossing wordt r=(1+2cost) i - 2(1-sint) j + (9+4cost-8sint) k gegeven

dus X=1+2cost en Y=2sint-2

Waarom deze parametrisatie ? en niet x=cost en Y=sint ? (dan krijg je Z=1 en wordt

de oplossing eenvoudiger.)

Zit hier een logica achter ?
Het betreft hier een kegelsnede, een doorsnede van een halve kegel en een vlak. Zoiets levert een punt, een halve lijn, een parabool of een ellips op. Als je als parametrisatie x=cost, y=sint, z=1 kiest, dan beperk je je al meteen tot een tamelijk willekeurige kegelsnede, namelijk een cirkel met straal 1, en als je verder gaat oplossen, door je cirkel met het gegeven vlak te snijden, kom je uit op een paar losse punten, in plaats van de gedroomde kegelsnede.

Je zou dan inderdaad kunnen zeggen dat je oplossing eenvoudiger wordt, maar dat komt vooral doordat je het belangrijkste deel van de oplossing over het hoofd ziet. De enige manier om zoiets aan te pakken, is door heel conservatief je parameters te kiezen, en pas beperkingen op te leggen als je niet anders kunt.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: parametrisatie curve

kreator schreef: zo 16 dec 2012, 14:58
Z=X2+Y2

en 2X-4Y-Z-1=0

Waarom deze parametrisatie ? en niet x=cost en Y=sint ? (dan krijg je Z=1 en wordt

de oplossing eenvoudiger.)

Zit hier een logica achter ?
Jazeker is dat logica.

Jouw parametrisatie werkt als het stelsel:

Z=X2+Y2

en Z-1=0

gegeven zou zijn ... , zie je waarom het gaat?

Berichten: 36

Re: parametrisatie curve

Safe schreef: zo 16 dec 2012, 19:21
Jazeker is dat logica.

Jouw parametrisatie werkt als het stelsel:

Z=X2+Y2

en Z-1=0

gegeven zou zijn ... , zie je waarom het gaat?
klopt :de paraboloide wordt op Z=1 gesneden i.p.v. Z = 2X-4Y-1=0 zoals eezacque aangaf

Reageer