Ik heb een vraagje over de energie van de superpositie van 2 "stationary state" oplossingen (of eigenfuncties) van een deeltje in een kwadratische potentiaalput (harmonische oscillator). Als men zo'n type probleem oplost doormiddel van de tijdonafhankelijke Schrödinger vergelijking bekomt men een n tijdsafhankelijke oplossingen ψn (reeds genormeerd: |ψn|² = 1) met corresponderende energieniveaus En. Zo zal een deeltje met vergelijking ψ1 een energie E1bezitten enz...
Nu zal elke lineaire combinatie (met correcte normering) van oplossingen ψn weer een oplossing zijn van het probleem aangezien dit een eigenschap is van de Schrödinger vergelijking.
ik had nu graag geweten wat de energie is van zo'n deeltje bekomen uit een lineaire combinatie van oplossingen.
Heeft het deeltje met vergelijking a*ψm + b*ψkeen energie van a*Em + b*Ekof eerder
(a*Em + b*E)/(a+b)? of nog iets anders? Of mag men niet zomaar één enkel deeltje associëren met een superpositie van oplossingen?
Alvast bedankt,
knockstaart
Laatste berichten
-
10:10
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren?
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
08:56
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 11
-
22:05
projectiel 7
-
21:48
Verschil tussen deze 2 vragen 4
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
12:15
Weerfrustratie 5
-
11:55
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
-
19 apr
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Harmonische oscillator in de kwantummechanica
Moderator: physicalattraction
-
- Berichten: 2.455
Re: Harmonische oscillator in de kwantummechanica
Je bedoelt toch tijdsonafhankelijke oplossingen?knockstaart schreef: ↑zo 16 dec 2012, 18:10
Als men zo'n type probleem oplost doormiddel van de tijdonafhankelijke Schrödinger vergelijking bekomt men een n tijdsafhankelijke oplossingen ψn
En je hebt, voor het Harmonisch geval, in principe oneindig veel oplossingen.
Puur formeel is er niets mis met een lineaire combinatie
\(\phi = a \psi_a + b \psi_b\)
te maken. Je moet a en b wel zodanig kiezen dat\(\int |\phi|^2 = 1\)
(die integraal was je vergeten in jouw post)Je kan gebruikmaken van de orthonormaliteit van de functies
\(\psi\)
:\(\int |\psi_a|^2 = 1\)
en \(\int \psi_a^* \psi_b^{} = 0\)
De energie is dan de overlapintegraal:\(\int \phi^* \hat{H} \phi\)
Deze kan je zelf uitwerken als je de formule voor \(\phi\)
invult en weet dat de functies \(\psi\)
eigenfuncties zijn van de hamiltoniaan (met eigenwaarden \(E_a\)
en \(E_b\)
) en opnieuw ook hun orthonormaliteit.This is weird as hell. I approve.
-
- Berichten: 5
Re: Harmonische oscillator in de kwantummechanica
Bedankt voor je reactie.
Ik bedoelde weldegelijk de tijdsafhankelijke Ψn(het product van de tijdsonafhankelijke functie ψn en exp(-i*En*t/h) ). De integraal was ik inderdaad vergeten. Bedankt voor de tip omtrent de overlapintegraal en de orthonormaliteit van ψn. Als ik het goed begrijp zal de energie van de functie a*Ψk+ b*Ψmdezelfde zijn als van de functie c*Ψk+ d*Ψm.
Waarbij a ≠ c en b ≠ d maar wel zo gekozen dat de totale integraal van het kwadraat van de norm van beide functies 1 is. Hoewel deze functies op het eerste zicht niet dezelfde lijken. Is dit correct en zoja van wat hangt de mannier van samenstellen van functies af voor de oplossing van een probleem met gekende energie?
Knockstaart
Ik bedoelde weldegelijk de tijdsafhankelijke Ψn(het product van de tijdsonafhankelijke functie ψn en exp(-i*En*t/h) ). De integraal was ik inderdaad vergeten. Bedankt voor de tip omtrent de overlapintegraal en de orthonormaliteit van ψn. Als ik het goed begrijp zal de energie van de functie a*Ψk+ b*Ψmdezelfde zijn als van de functie c*Ψk+ d*Ψm.
Waarbij a ≠ c en b ≠ d maar wel zo gekozen dat de totale integraal van het kwadraat van de norm van beide functies 1 is. Hoewel deze functies op het eerste zicht niet dezelfde lijken. Is dit correct en zoja van wat hangt de mannier van samenstellen van functies af voor de oplossing van een probleem met gekende energie?
Knockstaart
-
- Berichten: 336
Re: Harmonische oscillator in de kwantummechanica
Ben je bekend met metingen in de quantum mechanica, en hoe dit plaats vindt wanneer de golffunctie wel of niet commutteert met de operator voor de te meten grootheid?
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.
-
- Berichten: 5
Re: Harmonische oscillator in de kwantummechanica
Bedoel je het ineenstorten van de golf bij een meting? Hoe houd dit verband met het opstellen van een golffunctie?
-
- Berichten: 2.906
Re: Harmonische oscillator in de kwantummechanica
Het enige wat je kunt zeggen is dat het deeltje zich bevindt in een superpositie van 2 toestanden met een energie van respectievelijk Em en Ek . Op het moment dat je de energie gaat meten, vervalt de toestand in één van de twee eigentoestanden. De kans dat je Em zal meten is |a|^2 en de kans dat je Ek zal meten is |b|^2.knockstaart schreef: ↑zo 16 dec 2012, 18:10
ik had nu graag geweten wat de energie is van zo'n deeltje bekomen uit een lineaire combinatie van oplossingen.
Heeft het deeltje met vergelijking a*ψm + b*ψkeen energie van a*Em + b*Ekof eerder
(a*Em + b*E)/(a+b)? of nog iets anders? Of mag men niet zomaar één enkel deeltje associëren met een superpositie van oplossingen?
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
-
- Berichten: 5
Re: Harmonische oscillator in de kwantummechanica
Bedankt! dat was het antwoord dat ik zocht!
-
- Berichten: 897
Re: Harmonische oscillator in de kwantummechanica
Die overlap integraal geeft NIET de energie maar de VERWACHTE energie. Groot verschil, zoals math-emad-x al zei, we zitten hier in een superpositie van eigentoestanden wat betreft energie.
