Springen naar inhoud

Harmonische oscillator in de kwantummechanica


  • Log in om te kunnen reageren

#1

knockstaart

    knockstaart


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2012 - 18:10

Ik heb een vraagje over de energie van de superpositie van 2 "stationary state" oplossingen (of eigenfuncties) van een deeltje in een kwadratische potentiaalput (harmonische oscillator). Als men zo'n type probleem oplost doormiddel van de tijdonafhankelijke Schrödinger vergelijking bekomt men een n tijdsafhankelijke oplossingen ψn (reeds genormeerd: |ψn|² = 1) met corresponderende energieniveaus En. Zo zal een deeltje met vergelijking ψ1 een energie E1 bezitten enz...
Nu zal elke lineaire combinatie (met correcte normering) van oplossingen ψn weer een oplossing zijn van het probleem aangezien dit een eigenschap is van de Schrödinger vergelijking.
ik had nu graag geweten wat de energie is van zo'n deeltje bekomen uit een lineaire combinatie van oplossingen.
Heeft het deeltje met vergelijking a*ψm + b*ψk een energie van a*Em + b*Ek of eerder
(a*Em + b*E)/(a+b)? of nog iets anders? Of mag men niet zomaar één enkel deeltje associëren met een superpositie van oplossingen?

Alvast bedankt,
knockstaart

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2012 - 18:54

Als men zo'n type probleem oplost doormiddel van de tijdonafhankelijke Schrödinger vergelijking bekomt men een n tijdsafhankelijke oplossingen ψn


Je bedoelt toch tijdsonafhankelijke oplossingen?

En je hebt, voor het Harmonisch geval, in principe oneindig veel oplossingen.

Puur formeel is er niets mis met een lineaire combinatie
LaTeX
te maken. Je moet a en b wel zodanig kiezen dat
LaTeX (die integraal was je vergeten in jouw post)
Je kan gebruikmaken van de orthonormaliteit van de functies LaTeX :
LaTeX en LaTeX

De energie is dan de overlapintegraal:
LaTeX
Deze kan je zelf uitwerken als je de formule voor LaTeX invult en weet dat de functies LaTeX eigenfuncties zijn van de hamiltoniaan (met eigenwaarden LaTeX en LaTeX ) en opnieuw ook hun orthonormaliteit.

Veranderd door Typhoner, 16 december 2012 - 18:57

This is weird as hell. I approve.

#3

knockstaart

    knockstaart


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2012 - 20:42

Bedankt voor je reactie.

Ik bedoelde weldegelijk de tijdsafhankelijke Ψn (het product van de tijdsonafhankelijke functie ψn en exp(-i*En*t/h) ). De integraal was ik inderdaad vergeten. Bedankt voor de tip omtrent de overlapintegraal en de orthonormaliteit van ψn. Als ik het goed begrijp zal de energie van de functie a*Ψk + b*Ψm dezelfde zijn als van de functie c*Ψk + d*Ψm.
Waarbij a ≠ c en b ≠ d maar wel zo gekozen dat de totale integraal van het kwadraat van de norm van beide functies 1 is. Hoewel deze functies op het eerste zicht niet dezelfde lijken. Is dit correct en zoja van wat hangt de mannier van samenstellen van functies af voor de oplossing van een probleem met gekende energie?

Knockstaart

Veranderd door knockstaart, 16 december 2012 - 20:42


#4

sirius

    sirius


  • >250 berichten
  • 336 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2012 - 13:13

Ben je bekend met metingen in de quantum mechanica, en hoe dit plaats vindt wanneer de golffunctie wel of niet commutteert met de operator voor de te meten grootheid?
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.

#5

knockstaart

    knockstaart


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 december 2012 - 20:03

Bedoel je het ineenstorten van de golf bij een meting? Hoe houd dit verband met het opstellen van een golffunctie?

#6

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2382 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 december 2012 - 11:46

ik had nu graag geweten wat de energie is van zo'n deeltje bekomen uit een lineaire combinatie van oplossingen.
Heeft het deeltje met vergelijking a*ψm + b*ψk een energie van a*Em + b*Ek of eerder
(a*Em + b*E)/(a+b)? of nog iets anders? Of mag men niet zomaar één enkel deeltje associëren met een superpositie van oplossingen?

Het enige wat je kunt zeggen is dat het deeltje zich bevindt in een superpositie van 2 toestanden met een energie van respectievelijk Em en Ek . Op het moment dat je de energie gaat meten, vervalt de toestand in één van de twee eigentoestanden. De kans dat je Em zal meten is |a|^2 en de kans dat je Ek zal meten is |b|^2.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#7

knockstaart

    knockstaart


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 december 2012 - 18:21

Bedankt! dat was het antwoord dat ik zocht!

#8

die hanze

    die hanze


  • >250 berichten
  • 441 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 januari 2013 - 02:15

Die overlap integraal geeft NIET de energie maar de VERWACHTE energie. Groot verschil, zoals math-emad-x al zei, we zitten hier in een superpositie van eigentoestanden wat betreft energie.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures