Springen naar inhoud

Stelling van Rouché


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Energyfellow

    Energyfellow


  • >100 berichten
  • 122 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 december 2012 - 22:47

Hey,

Ik snap de Stelling van Rouché niet zo goed.

De vraag was: indien oplosbaar, los dan het stelsel op.

Gegeven:

x + 5y - 8
3x - 2y = 10
5x + 3y = 4
x + y = 0

Hoe begin ik eraan?
Het internet noch mijn cursus konden veel duidelijkheid scheppen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 december 2012 - 23:31

Wat begrijp je niet aan die stelling? Je moet de rang van A|b en de rang van A vergelijken. Zijn die gelijk, is je stelsel oplosbaar. Is daarenboven rang(A|b) = rang(A) = n, dan is de oplossing uniek.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Energyfellow

    Energyfellow


  • >100 berichten
  • 122 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2012 - 00:01

Dries,

Tot daar ben ik nog mee maar stel nu: rang (A|b) = rang(A), hoe los ik dat dan op?

Moet ik zoals bij de methode van Gauss naar een benedendriehoek werken?
Of zoals bij de methode van Gauss-Jordan naar de canonieke gedaante werken?

Dank bij voorbaat,
Roger

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 december 2012 - 00:40

Begin al eens met het bepalen van rang(A)...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Energyfellow

    Energyfellow


  • >100 berichten
  • 122 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2012 - 09:14

Als ik me niet vergis kunnen we de rang vinden door naar onze hoofddeterminant te kijken.

A is een 4 * 2 matrix, we gaan dat dus moeten omzetten naar een vierkante matrix bijgevolg krijgen we een 2*2 matrix waarvan de determinant verschillend van 0 moet zijn, in dit geval: LaTeX geeft ons (1 * (-2)) - (3 * 5) = -2 - 15 = -17.

Met andere woorden, de rang van A = LaTeX is gelijk aan 2.

Veranderd door Energyfellow, 17 december 2012 - 09:15


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 december 2012 - 09:46

Klopt. Maar de rang bepalen kan eenvoudiger (door rijherleiden). Maar jouw methode werkt ook. Doe nu hetzelfde met rang(A|b).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Energyfellow

    Energyfellow


  • >100 berichten
  • 122 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2012 - 10:00

(A|b) =
LaTeX , dit is een 4 * 3 matrix, dus hier zullen we ook een willekeurige rij moeten schrappen.

Stel we nemen:
LaTeX , we gaan van deze matrix de determinant berekenen door middel van de regel van Sarrus.

Dat geeft ons -8 + 250 + 72 - (-80) - 30 - 60 = 304.

De determinant is verschillend van 0, dus de hoofddeterminant van (A|b) =
LaTeX met rang 3.

Veranderd door Energyfellow, 17 december 2012 - 10:01


#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 december 2012 - 10:42

Dus wat kun je besluiten?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Energyfellow

    Energyfellow


  • >100 berichten
  • 122 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2012 - 10:47

De rang van A is verschillend dan die van (A|b) met andere woorden, B behoort niet tot de kolomruimte van A en is het stelsel A*X = B strijdig?

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 december 2012 - 10:49

Er is inderdaad geen oplossing voor het stelsel, op basis van Rouché.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Energyfellow

    Energyfellow


  • >100 berichten
  • 122 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2012 - 11:02

Dat was snel :).

Stel nu dat we volgende matrix hebben
LaTeX , alles is hetzelfde als daarnet maar a13 dat 8 was is gewijzigd in -8.

Bijgevolg krijgen we geen niet nul determinant in de bijhorende 3*3 matrices want zowel
LaTeX als LaTeX zal als determinant 0 uitkomen.

Stel we nemen als hoofddeterminant: LaTeX , welke dus als determinant (1 * (-2)) - (3 * 5) = -17 uitkomt.

Conclusie: rang A = rang (A|b) = rang 2, dus B behoort wel tot de kolomruimte van A.

Wat is dan de volgende stap?

Veranderd door Energyfellow, 17 december 2012 - 11:05


#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 december 2012 - 11:12

Is de rang nu gelijk aan het aantal variabelen? Dus Rouché zegt je dat er ... oplossingen zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Energyfellow

    Energyfellow


  • >100 berichten
  • 122 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2012 - 11:18

Als ik me niet vergis zou er één unieke oplossing zijn.

Veranderd door Energyfellow, 17 december 2012 - 11:18


#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 december 2012 - 11:19

Dat klopt :). Stel dat je nu eens even alleen naar de eerste 2 vergelijkingen kijkt:
x + 5y = -8
3x - 2y = 10
Als er een oplossing is voor dit stelsel. Hoeveel oplossingen zijn er dan?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Energyfellow

    Energyfellow


  • >100 berichten
  • 122 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2012 - 11:21

Ik vermoed één oplossing voor x en één oplossing voor y.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures