Springen naar inhoud

functieruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_foemph_*

  • Gast

Geplaatst op 25 december 2012 - 12:00

Hallo,

Ik ben op zoek naar voorbeelden van rijtjes functies die niet uniform convergeren maar wel in de compact open topologie en niet in de compact open topologie convergeren maar wel puntsgewijs convergeren. Ik heb twee ideetjes maar ben daar niet zo zeker van.

Niet uniform convergent maar wel in de compact open topologie:

LaTeX

deze convergeert in de compact open topologie naar de 0-functie maar niet uniform naar de 0-functie

Niet convergent in de compact open topologie maar wel puntsgewijs

LaTeX

Convergeert in elk punt naar de 0-functie. Maar ik denk dat dit niet convergeert in de compact open topologie al hoewel ik hier niet zeker van ben.

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 16:17

Je eerste voorbeeld klopt volgens mij. Maar het kan eigenlijk eenvoudiger:
LaTeX .

Convergeert in elk punt naar de 0-functie. Maar ik denk dat dit niet convergeert in de compact open topologie al hoewel ik hier niet zeker van ben.

Ik zou zeggen: ga het na (of waar loop je vast?)... Al stel ik me sowieso de vraag: moet je domein niet ook R zijn eigenlijk?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

*_gast_foemph_*

  • Gast

Geplaatst op 26 december 2012 - 17:40

Mijn tweede voorbeeld is bij nader inzien fout. Het volgende voorbeeld is echter wel juist.


LaTeX

Bijgevolg convergeert fn puntsgewijs naar f. Convergeren in de compact open topologie wilt zeggen dat fn gerestricteert tot elk compact deel van [0,1] uniform convergeert naar f gerestricteert tot dat compact deel.

We hebben een stelling van Dini gezien en die zegt dat als X compact is, Y metrisch. fn een rij in C(X,Y) en f een element van C(X,Y) en de afstand tussen fn en f puntsgewijs daalt naar 0 dat dan fn uniform convergeert naar f.

Maar in mijn voorbeeld is die f al niet continu dus zal de stelling van Dini niet kunnen opgaan en bijgevolg zal fn dus niet convergeren in de compact open topologie.

Het domein kan ook wel de reële getallen zijn denk ik maar ik pakte een interval om het me iets gemakkelijker te maken.

Ik hoop dat je dit begrijpt en bedankt voor je antwoord.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 18:06

Je redenering is vreemd, je voorbeeld correct (op wat notatie na). Toevallig hier gekeken ;)?

Begrijp je mijn voorbeeld?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

*_gast_foemph_*

  • Gast

Geplaatst op 26 december 2012 - 18:51

Hoezo vreemd? :D Ik heb het voorbeeld zelf gevonden en aangetoond met stellingen die we gezien hebben in de les.

Jou voorbeeld begrijp ik. Bedankt.

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 18:58

Ik zie nog niet hoe je via Dini (die iets zegt over puntgewijs impliceert uniform) kunt besluiten dat er geen compacte convergentie is. In mijn ogen wil jij zeggen dat Dini niet kàn gelden (omdat de functie f niet meer continu is) en daaruit wil jij halen dat dan geen convergentie op compacte kan optreden... Klopt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

*_gast_foemph_*

  • Gast

Geplaatst op 26 december 2012 - 19:08

Dat wou ik doen maar ik merk nu op dat het niet juist is.

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 19:21

Mooi :). Weet je hoe je het dan wél kunt doen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

*_gast_foemph_*

  • Gast

Geplaatst op 26 december 2012 - 19:25

Hehe :-D. Momenteel zie ik het nog niet in hoe het moet.

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 20:44

Wat is de definitie van compacte convergentie? Wat is een interval van de van de vorm [a, 1]? Is x^n uniform convergent?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

*_gast_foemph_*

  • Gast

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:08

Het interval is compact en hausdorff en in dat geval vallen de uniforme topologie ende compact open topologie samen. En deze functie convergeert niet uniform dus zal ze ook niet convergeren in de compact open topologie.

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:09

Klopt :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

*_gast_foemph_*

  • Gast

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:17

Ok :) dankjewel voor je hulp!

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:24

Graag gedaan :). Succes nog!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures