Springen naar inhoud

bewijsje volledige inductie (ivm vierkantswortel en absolute waarde)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

.Koen

    .Koen


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 december 2012 - 20:07

Hallo,

Ik moet bewijzen dat
√(c12+c22+…+cn2) ≤ |c1|+|c2|+…+ |cn| (dmv volledige inductie)

· Ik begin dus met nagaan of dit klopt voor n=1:
√(c12)≤|c1| Dit klopt, want de leden zijn gelijk aan elkaar.

· Dan stel ik dat het geldt voor n=m, en moet ik nu bewijzen dat het geldt voor n=m+1, dus dat
√(c12+c22+…+cm2+cm+12) ≤ |c1|+|c2|+…+ |cm|+ |cm+1|

Maar hier loop ik vast. Ik dacht dat het misschien handig was om eerst beide leden te kwadrateren (aangezien ze toch alletwee positief zijn) en dan te proberen om dat te bewijzen (want dan heb je geen last meer van de vierkantswortel).
Dan vertrek is dus vanuit het gekwadrateerde linkerlid:

(c12+c22+…+cm2+cm+12) = (c12+c22+…+cm2)+cm+12

≤ (|c1|+|c2|+…+ |cm|)2+cm+12 (via de inductiehypothese)

Maar dan is er nog altijd niets bewezen, en ik weet niet hoe ik nu verder moet? Kan iemand me helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 20:47

Probeer eerst eens te bewijzen dat LaTeX . De rest zal daarop steunen (en meteen uit volgen).

Lukt dit bewijzen niet, probeer dan al eens te zien hoe je met dit meteen jouw probleem oplost.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

.Koen

    .Koen


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:02

(|a|+|b|)2=|a2|+2|a||b|+|b2| ≥ a2+b2

Dus als ik dan van alles de wortel neem krijg ik:

|a|+|b| ≥ √(a2+b2)

Maar als er meer dan 2 termen (dus meer dan enkel de a en b) zijn kan je dat toch niet op die manier uitwerken? Of mag je dan gewoon besluiten dat er in het 2 de lid wel meer termen zullen staan? Of misschien moet je het helemaal uitschrijven?

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:05

Je manier om LaTeX te bewijzen, klopt. Vervang nu eens LaTeX en LaTeX . Helpt dat? Mag dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

.Koen

    .Koen


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:13

√( (c1+c2+…+cm)2+(cm+1)2 ) ≤ |c1+c2+…+ cm|2+ |cm+1|2

Ik denk dat dat wel mag, maar dan is het nog niet opgelost. Of wel?

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:20

Dat is een foutieve toepassing. Waarom die kwadraten na het ongelijkheidsteken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

.Koen

    .Koen


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:24

Oei, ja, die kwadraten moeten er natuurlijk niet bij, sorry. Maar is het zonder de kwadraten wel juist?
√( (c1+c2+…+cm)2+(cm+1)2 ) ≤ |c1+c2+…+ cm|+ |cm+1|

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:25

Ja :). Pas nu de driehoeksongelijkheid meermaals toe...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

.Koen

    .Koen


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:31

Het tweede lid wordt dan

|c1+c2+…+ cm|+ |cm+1| ≤ |c1|+|c2|+…+ |cm|+ |cm+1|

Het eerste lid is dus zeker ook kleiner dan dat nieuwe tweede lid.

Maar dan is dat eerste lid denk ik nog altijd niet wat het moet zijn?

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:42

Klopt, maar wat weet je van LaTeX tegenover LaTeX ? Wat weet je dan van de wortel?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

.Koen

    .Koen


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:50

Ik denk dat [url=""%20style="]Geplaatste afbeelding[/url]groter is dan [url=""%20style="]Geplaatste afbeelding[/url]. Maar hoe leg je dat dan precies uit? Gewoon iets à la 'in het eerste deel zullen dezelfde termen voorkomen als in het tweede deel plus een aantal extra (positieve) termen, waardoor het eerste deel groter is dan het tweede'?

En de wortel van dat eerste is dan natuurlijk ook groter dan de wortel van het tweede.
Zijn we er dan?

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:53

Je kunt dat natuurlijk ook steeds gewoon per inductie bewijzen. Enja, zie je in dat als a <= b, dat dan LaTeX ? Dan ben je er, ja.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

.Koen

    .Koen


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 december 2012 - 21:56

Ja, dat begrijp ik. Super, heel erg bedankt!

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2012 - 22:00

Graag gedaan :). Meerdere wegen zijn uiteraard mogelijk. In jouw bewijs kon je bijv verdergaan door nu op te merken dat je iets hebt van de vorm a² + b² in het rechterlid. En dat is steeds kleiner dan (a + b)². En dan was je er ook. Zie je?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

.Koen

    .Koen


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 december 2012 - 22:02

Ah, inderdaad, dat was eigenlijk zelfs makkelijker! Maar goed, nu begrijp ik het zeker. ;) Dankjewel!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures