Springen naar inhoud

Deelbaarheid door 8



  • Log in om te kunnen reageren

#1

kunner

    kunner


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2012 - 12:05

Hey,

Er werd gevraagd om te bewijzen dat n²-1 steeds deelbaar is door 8 voor alle oneven natuurlijke getallen.

Ik heb dit op 2 manieren gedaan eerst op een "gemakkelijke" manier en dan inductief omdat de inductie methode stond uitgelegd in de oplossingen. Maar nu vroeg ik mij af of mijn "gemakkelijk" bewijs fout is.

Mijn rechtstreeks bewijs ging als volgt;
stel je hebt n²-1.
=(n-1)*(n+1) ontbinden in factoren
Nu zal door het oneven zijn van n het eerste steeds deelbaar zijn door 2 en het tweede deelbaar door 4 (Het omgekeerd geval kan ook optreden volgens mij). En dus deelbaar door 2 en deelbaar door 4 = deelbaar door 8

Is dit een correcte werkwijze of is dit te onvolledig en is een inductief bewijs the way to go.

mvg

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 december 2012 - 12:10

Je eerste werkwijze is zeker correct. Inductie is overkill. Het kan ook gewoon zeer rechtstreeks: n is oneven, dus er is een k zodat n = 2k + 1. Dus n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1, of nog n² - 1 = 4k(k+1). Nu zie je meteen dat n²-1 deelbaar is door 4, en k of k+1 is even, dus deelbaar door 8.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

kunner

    kunner


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2012 - 12:13

Zelfs deelbaar door 24 want 1 van de 2 ontbindingen zal ook deelbaar zijn door 3 :-)

Je eerste werkwijze is zeker correct. Inductie is overkill. Het kan ook gewoon zeer rechtstreeks: n is oneven, dus er is een k zodat n = 2k + 1. Dus n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1, of nog n² - 1 = 4k(k+1). Nu zie je meteen dat n²-1 deelbaar is door 4, en k of k+1 is even, dus deelbaar door 8.

Bedankt voor je antwoord :)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures