Springen naar inhoud

Gesloten formules voor oneindige producten van complexe nulpunten.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2012 - 00:54

Wellicht een hele brede vraag voor dit forum, maar ik heb er voor en tijdens de kerstdagen flink mee geworsteld en kom helaas niet verder.

Hier komt ie...

Volgens de factorisatiestelling van Weierstrass kunnen gehele functies weergegeven worden door een oneindig product, waarin hun (complexe) nulpunten een rol spelen (met het Hadamard product van de non-triviale nulpunten van LaTeX als één van de bekendste).

Ben begonnen met het omdraaien van de stelling en met het construeren van oneindige producten van "gefabriceerde" complexe nulpunten om te zien of er onder bepaalde condities een gehele functie uit afgeleid zou kunnen worden:

Dat lukte aardig. Neem dit oneindige product als uitgangspunt:

LaTeX

en dan allereerst LaTeX en LaTeX

Ik vond al snel de volgende gesloten formule die (volgens mij) geldt voor alle waarden van s, a en x (behalve wanneer x=0):

LaTeX

en die voor LaTeX verder gereduceerd kan worden tot:

LaTeX

Aangemoedigd door dit resultaat nam ik vervolgens:

LaTeX en LaTeX

waarbij LaTeX een non-triviaal nulpunt van LaTeX is. Met andere woorden: i.p.v. van door de integers LaTeX te lopen, doorloop ik nu de imaginaire waardes van de non-triviale nulpunten LaTeX .

Het Hadamard product is reeds bekend:

LaTeX

en aannemende dat de RH waar is, dus alle LaTeX , dan geldt ook (gevonden met hulp van een wiskundige op een ander forum):

LaTeX

Hiermee kan ik al de dichtheid van de non-triviale nulpunten over de verticale as (via x) naar willekeur regelen, maar waar ik naar toe zou willen is een gesloten formule LaTeX waarmee ik (via a) de nulpunten ook horizontaal kan verschuiven en waarbij het bovengenoemde Hadamard product dan hopelijk precies gelijk blijkt te zijn aan de gereduceerde vorm LaTeX ...

Zo'n formule is helaas niet bekend, maar toch ik heb het vermoeden dat hij zou kunnen bestaan (dit echter puur o.b.v. van een gevoel voor symmetrie. Een gesloten vorm bestaat voor LaTeX , dus waarom niet voor LaTeX ?).

In ieder geval weet ik dat als zo'n functie bestaat, deze moet voldoen aan de volgende voorwaarden:Elke hint/tip om een opening te creëren is welkom :-)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2013 - 12:38

Heb denk ik de gezochte formule gevonden :)

http://mathoverflow....g-im-rho-n-does

Helaas heb ik geen net bewijs of afleiding voor deze formule (heb hem gevonden via een proces van 'controlled trial & error' ), echter alle testberekeningen met 2mln LaTeX s kloppen tot op 4-5 decimalen.

Inmiddels is aangetoond dat als de RH niet waar is, deze formule ook niet klopt. Een logische vervolgvraag is daarom: Kan de gevonden formule afgeleid worden aannemende dat de RH waar is?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures