Springen naar inhoud

Metriseerbare ruimten en samenhang


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2013 - 10:57

Hallo,

Ik heb even wat hulp nodig met onderstaande vragen.

1. Het blijkt dat elke eindige topologische ruimte met daarop de discrete topologie metriseerbaar is. In mijn cursus wordt een tegenvoorbeeld gegeven van een eindige ruimte zonder de discrete topologie die niet metriseerbaar is, nl.
Stel LaTeX en daarop de Sierpinski topologie LaTeX dan is LaTeX niet metriseerbaar.

Hoe toon ik dit aan? Ik moet aantonen dat er geen enkele metriek LaTeX is op LaTeX die de Sierpinski topologie zou induceren, i.e LaTeX . Ik zou denken dat ik moet veronderstellen dat er wel zo een metriek is en dan ergens op een contradictie moet uitkomen. Ik zie echter niet hoe ik dit moet aanpakken.

2. Beschouw LaTeX met de Euclidische topologie:
a) Is LaTeX samenhangend?
b) Dit kan blijkbaar veralgemeend worden, want als LaTeX een aftelbaar deel is LaTeX dan zou LaTeX samenhangend zijn.

Iemand een idee hoe dit aan te pakken?

Bvd!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 januari 2013 - 14:36

1) Als je ruimte metriseerbaar zou zijn, moet er voor punten a en b, verschillend, ook open verzamelingen bestaan (namelijk de open bol met straal 1/2*d(a, b)) zodat deze disjunct zijn en de ene a de andere b bevat. Maar welke open verzameling is de enige die het punt 1 bevat?

2) Kan je een pad leggen tussen 2 willekeurige punten in R²\Q²? Hint: maak gevalsonderscheid.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2013 - 18:42

1) Waarom volgt dat uit metriseerbaarheid? Misschien begrijp ik als ik dit niet weet de definitie niet helemaal van metriseerbaarheid. Het enige dat ik weet is dat als een topologische ruimten metriseerbaar is dan bestaat er een metriek LaTeX zodanig dat: LaTeX
En de enige open verzameling die 1 bevat is LaTeX zelf. Het probleem hier is dus dat ik nooit twee disjuncte open verzamelingen voor LaTeX en LaTeX kan vinden.

2) Ik veronderstel dat je wilt bewijzen dat LaTeX wegsamenhangend is. Hier ga ik nog even over nadenken, maar een bijkomende tip is altijd welkom.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 januari 2013 - 19:02

Voor 1) zijn er meerdere wegen uiteraard :). Eentje mooi aansluitend op jouw definitie dan: Stel dat d(0, 1) = 0, dan Td (de topologie geïnduceerd door d) = {Ø, X} en dat is niet T. Stel nu dat d(0, 1) > 0. Enig idee hoe je het kunt afmaken.

Voor 2): neem punten (a, b) en (c, d). Nu is steeds a of b en c of d irrationaal. Stel nu dat a en d irrationaal zijn. Zie je een rechte lijn van (a, b) naar (a, d) en eentje van (a, d) naar (c, d)?

PS: padsamenhangend is een iets meer gebruikte benaming :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2013 - 19:51

1) Heb je het hier dan over pseudometriseerbaarheid, want een metriek waarvoor LaTeX is toch onmogelijk als LaTeX een metriek is?

Ik begrijp niet goed wat hier de bedoeling is van LaTeX . Kan je toelichten wat je uiteindelijk wilt gaan aantonen?

Die definitie die jij hanteerde loste deze vraag wel efficienter op :), jammer dat ik die nergens kan terugvinden in m'n cursus. Of deze definitie moet zo logisch zijn da het meteen uit de definitie (die ik gebruik) volgt.

2) Waarom zijn ze niet allemaal irrationaal? Als LaTeX dan is toch zowel a als b irrationaal?

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 januari 2013 - 20:47

1) Heb je het hier dan over pseudometriseerbaarheid, want een metriek waarvoor LaTeX

is toch onmogelijk als LaTeX een metriek is?

Klopt. Als er geen pseudometriek is, ook geen metriek, toch? (Of zeg ik nu wat doms?)

Ik begrijp niet goed wat hier de bedoeling is van LaTeX

. Kan je toelichten wat je uiteindelijk wilt gaan aantonen?

Uiteraard is het de bedoeling weer een tegenspraak te bekomen met jouw definitie. Het "handigste" is bekomen dat je hebt dat {0} een open bol rond 0 is...

Die definitie die jij hanteerde loste deze vraag wel efficienter op :), jammer dat ik die nergens kan terugvinden in m'n cursus. Of deze definitie moet zo logisch zijn da het meteen uit de definitie (die ik gebruik) volgt.

Ben je bekend met het zogenaamde "T1 eigenschap"? [1] Dan ben je er weer :).

2) Waarom zijn ze niet allemaal irrationaal? Als LaTeX

dan is toch zowel a als b irrationaal?

Een punt zit enkel en alleen in Q² als zowel a als b rationaal zijn. Een punt zit dus niet in Q² als a of b niet rationaal is...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2013 - 22:33

Lijkt me allesinds logisch dat dat een pseudometriek geen metriek is. Elke metriseerbare ruimte is Hausdorff (want elke metrische ruimte is Hausdorff) en aangezien de Sierpinski ruimte niet Hausdorff is want 1 en 0 hebben nooit disjuncte omgevingen is. Dus is de Sierpinski ruimte ook niet metriseerbaar.

Deze uitleg lijkt me voldoende en is wat ik nodig heb, over dat andere ga ik nog eens nadenken, maar dit is al zeker een voldoende antwoord :)

Voor de 2de vraag, ik had even geen rekening gehouden met de wetten van de logica. Maar toch, ik blijf dit een enorm lastige vraag vinden. Als ik een rechte moet zien van (a,b) naar (a,d), hoe kan ik dit dan ooit formeel maken? Ik ben er van overtuigd dat het niet anders kan, maar ik zie het niet :P

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 januari 2013 - 23:06

Voor 2): Dat valt toch nog mee? We hadden verondersteld dat a irrationaal is. Dus per definitie ligt voor alle x in R het koppel (a, x) niet in Q². In het bijzonder geldt dit ook voor x in [b, d]. Ergo, de rechte die (a, b) met (a, d) verbindt ligt in R²\Q². Doe nu hetzelfde voor (a, d) met (c, d) te verbinden. "Plak" vervolgens die twee rechten aan elkaar.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2013 - 14:18

Ok, dat is duidelijk nu. Voor vraag 2b) heb ik als hint meegkregen: hoeveel rechten gaan er door een punt. Ik weet niet wat ik hier mee ben ...

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2013 - 14:31

Prima :). Allereerst is het evident dat er door een punt overaftelbaar veel rechten gaan. Waar de tip echt om gaat: hoeveel rechten gaan er maximaal een punt uit A "snijden"? Eens we dat hebben, zal ik je proberen te zeggen wat we daarmee zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2013 - 16:22

Ik weet het niet. Ik was aan het denken: stel dat er overaftelbaar veel rechten een punt uit A zouden snijden wat zou da willen zeggen ... maar dat brengt me geen inzichten ...

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2013 - 16:25

Je A zelf bestaat maar uit aftelbaar veel punten. Dit impliceert meteen je ook maar aftelbaar veel rechten hebt die vertrekken in een punt x en een punt uit A snijden. Immers, een rechte ligt uniek vast door 2 punten te kiezen op de rechte. Je rechte gaat steeds door x, en het tweede punt is een punt uit A. Je hebt dus een bijectie tussen A en rechten door x en een punt uit A. Zie je dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2013 - 20:02

Goh, ja; maar het blijft me toch iets vreemd. Maar wat wil je hier mee bereiken?

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2013 - 20:17

Wel, neem nu twee punten x en y in R²\A. Bekijk nu de lijnen door x; dan snijden er aftelbaar veel A (en idem voor y). In het bijzonder bestaan er minstens 2 (verschillende) lijnen (rechten) door x die A niet snijden en minstens één door y die A niet snijdt. De lijn door y moet nu steeds 1 van de 2 lijnen door x snijden. Je pad van x naar y wordt nu gevormd door van y naar dat snijpunt te gaan en dan van dat snijpunt naar x. Zie je dit?

Geef nu gerust aan of je ergens nog moeite mee hebt (eender wat).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures