Ik heb even wat hulp nodig met onderstaande vragen.
1. Het blijkt dat elke eindige topologische ruimte met daarop de discrete topologie metriseerbaar is. In mijn cursus wordt een tegenvoorbeeld gegeven van een eindige ruimte zonder de discrete topologie die niet metriseerbaar is, nl.
Stel
\(X=\{0,1\}\)
en daarop de Sierpinski topologie \(\mathcal{T}=\{\emptyset,\{0\},X\}\)
dan is \(X\)
niet metriseerbaar.Hoe toon ik dit aan? Ik moet aantonen dat er geen enkele metriek
\(d\)
is op \(X\)
die de Sierpinski topologie zou induceren, i.e \(\mathcal{T}=\mathcal{T}_d\)
. Ik zou denken dat ik moet veronderstellen dat er wel zo een metriek is en dan ergens op een contradictie moet uitkomen. Ik zie echter niet hoe ik dit moet aanpakken.2. Beschouw
\(\mathbb{R}^2\)
met de Euclidische topologie:a) Is
\(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}^2\)
samenhangend?b) Dit kan blijkbaar veralgemeend worden, want als
\(A\)
een aftelbaar deel is \(\mathbb{R}^2\)
dan zou \(\mathbb{R}^2 \setminus A\)
samenhangend zijn. Iemand een idee hoe dit aan te pakken?
Bvd!
. Eentje mooi aansluitend op jouw definitie dan: Stel dat d(0, 1) = 0, dan Td (de topologie geïnduceerd door d) = {Ø, X} en dat is niet T. Stel nu dat d(0, 1) > 0. Enig idee hoe je het kunt afmaken.
