Differentiaalvergelijking eerste orde

frederikp

Hallo,

Ik heb een vraag over de volgende DV

5y'+y = sin(at)

Wie kan mij helpen om deze vergelijking op te lossen? Ik zit helemaal in de knoop.

Safe

Begin eens met de homogene verg ... . kan je die oplossen?

frederikp

y = c e^(-t/5)

EvilBro

Herschrijf de differentiaalvergelijking naar:

\(\frac{dy(t)}{dt} + \frac{1}{5} \cdot y(t) = \frac{1}{5} \cdot sin(a \cdot t)\)

Veronderstel dat er een functie is zodat geldt:

\(\mu(t) \cdot \frac{dy(t)}{dt} + \mu(t) \cdot \frac{1}{5} \cdot y(t) = \mu(t) \cdot \frac{1}{5} \cdot sin(a \cdot t)\)

Stel tevens dat geldt:

\(\frac{d \mu(t)}{dt} = \frac{1}{5} \cdot \mu(t)\)

Hiermee kan je stellen dat:

\(\mu(t) \cdot \frac{dy(t)}{dt} + \frac{d \mu(t)}{dt} \cdot y(t) = \mu(t) \cdot \frac{1}{5} \cdot sin(a \cdot t)\)

Hierin herken je de productregel:

\(\frac{d}{dt} \left(\mu(t) \cdot y(t) \right) = \mu(t) \cdot \frac{1}{5} \cdot sin(a \cdot t)\)

Beide kanten integreren:

\(\mu(t) \cdot y(t) = \int \mu(t) \cdot \frac{1}{5} \cdot sin(a \cdot t) dt\)

dus:

\(y(t) = \frac{1}{\mu(t)} \cdot \int \mu(t) \cdot \frac{1}{5} \cdot sin(a \cdot t) dt\)

\(\mu(t)\) kun je bepalen op basis van de differentiaalvergelijking boven. Daarna moet je nog de integraal oplossen met die \(\mu(t)\) ingevuld.

Wetenschapsforum