Springen naar inhoud

Voorbeelden topologische ruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2013 - 14:09

Hallo,

Ik was aan het zoeken naar enkele tegenvoorbeelden, maar ik vind er enkele niet.

1. Heeft iemand een voorbeeld van een topologische ruimte die Hausdorff is, maar niet regulier?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 januari 2013 - 14:38

Ken je de ruimte LaTeX ? Dat is de reële rechte, maar nu met basisopens de "gewone" opens plus de verzamelingen van de vorm (a, b)\K met LaTeX .

Aan jou om proberen te tonen dat deze ruimte Hausdorff is en niet-regulier. Je geeft maar aan of dat lukt :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2013 - 15:35

Volgens mij staat dat voorbeeld in m'n cursus, bedoel je
Beschouw de euclidische topologie op LaTeX en stel LaTeX . Beschouw nu de topologie LaTeX voortgebracht door LaTeX , dan is LaTeX Hausdorff, maar niet regulier.

De reden denk ik dat ze Hausdorff is, komt omdat net zoals bij de Euclidische topologie rond elke twee verschillende punten disjuncte intervallen kunnen nemen en dat verandert volgens mij niet hier.

Regulariteit weet ik niet.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 januari 2013 - 15:52

Tja, het is ongeveer dat, maar niet helemaal. Zoals ik hierboven zei is het de gewone topologie, uitgebreid met alle verzamelingen van de vorm (a, b)\K.

Je argumentatie voor Hausdorff is bijna okee. Ben je bekend met "fijnere topologie" of iets dergelijks (in het Engels finer topology).

Voor regulier moet je eerst eens proberen wat intuïtie te krijgen rond deze topologie. Hiervoor moet je maar eens kijken naar wat die verzamelingen (a, b)\K nu juist zo speciaal maakt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2013 - 17:23

De topologie de we nu hebben is fijner dan de Euclidische topologie. We kunnen in de nieuwe topologie dan gewoon dezelfde disjuncte intervallen beschouwen? Aangezien de euclidische toch een deel ervan is?

Maar wat bedoel je met (a,b)\K, ik zie niet in hoe die verzameling eruit ziet?

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 januari 2013 - 17:27

Je hebt gewoon meer opens (extra) in deze topologie, dus je hebt inderdaad geen probleem om Hausdorff te bewaren.

En gewoon (a,b)\K is het interval (a, b) met daar de punten uit K uit weg gelaten. Zijn je a en b zodanig dat het gewoon geen punten van K bevat, laat je natuurlijk niets weg. Dus de enige "interessante" intervallen zijn deze die punten (0, 1] bevatten.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2013 - 19:57

Je hebt gewoon meer opens (extra) in deze topologie, dus je hebt inderdaad geen probleem om Hausdorff te bewaren.

En gewoon (a,b)\K is het interval (a, b) met daar de punten uit K uit weg gelaten. Zijn je a en b zodanig dat het gewoon geen punten van K bevat, laat je natuurlijk niets weg. Dus de enige "interessante" intervallen zijn deze die punten (0, 1] bevatten.


Ah, ik was even in de war. Ik dacht dat je met LaTeX een koppel bedoelde, ermee dat ik in de war was. Dan zie ik inderdaad in dat het enige interessante zich voordoet bij punten die LaTeX bevatten.

Ik moet dus opzoek gaan naar een gesloten verzameling en een willekeurig punt die geen disjuncte omgevingen hebben, maar hoe?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 januari 2013 - 20:00

Tja, er is maar 1 zaak die deze topologie anders maakt dan de gewone topologie: die verzameling K. Zou deze dus geen goed vertrekpunt bieden? Zoek nu nog een speciaal punt...

Hint: eigenlijk kun je het speciale punt al zien aan mijn vorige post (of de jouwe zo je wilt).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2013 - 20:17

Tja, er is maar 1 zaak die deze topologie anders maakt dan de gewone topologie: die verzameling K. Zou deze dus geen goed vertrekpunt bieden? Zoek nu nog een speciaal punt...

Hint: eigenlijk kun je het speciale punt al zien aan mijn vorige post (of de jouwe zo je wilt).


Maar ik heb een gesloten interval nodig, dus ik zou zeggen dat ik als speciaal geval waar iets kan mislopen LaTeX nemen. En dus nu moet ik hier een punt buiten nemen dan of?

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 januari 2013 - 20:20

Neenee, je hebt geen gesloten interval nodig. Je hebt een gesloten verzameling nodig.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2013 - 20:32

Ik vermoed omdat LaTeX in de topologie zit dan is die open, dus kunnen we misschien LaTeX zelf als gesloten nemen?

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 januari 2013 - 20:34

Dat is inderdaad een beter idee :). Nu nog een punt. Dat punt moet "in de buurt van K" liggen. Wat zou een slimme keuze kunnen zijn?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2013 - 20:38

Dat is inderdaad een beter idee :). Nu nog een punt. Dat punt moet "in de buurt van K" liggen. Wat zou een slimme keuze kunnen zijn?


Dan opteer ik om LaTeX nemen. Aangezien LaTeX in de euclidische topologie zit vermoed ik dat zijn omgevingen allemaal intervallen zijn. Maar het kan niet zijn dat LaTeX en LaTeX disjuncte omgevingen hebben, want bij LaTeX zijn het allemaal intervallen rond 0 en die zullen altijd iets van LaTeX snijden.

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 januari 2013 - 20:43

Je idee is helemaal correct. De keuze voor 0 is de (enige) goede.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2013 - 20:54

Je idee is helemaal correct. De keuze voor 0 is de (enige) goede.


Ok, bedankt!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures