. Hint: je equivalentieklassen moeten open/gesloten zijn (schrap wat niet past 
) opdat het waar is. Maar hoe bewijs ik het in het algemeen dan voor wegsamenhang, lokale samenhang en samenhang? Ik weet wel dat samenhang bewaard blijft onder continue surjecties en dus zou ik denken dat die ook overgaat op quotientvorming, maar voor lokale en weg niet echt meteen een idee.Drieske schreef: ↑wo 09 jan 2013, 10:06
Begin eens met (lokale, weg) samenhang. Dat zou een relatief makkelijke moeten zijn.
Wat T1 betreft: dit zal niet altijd waar zijn. Vind wanneer het wel waar is en je hebt de weg naar een voorbeeld
En dan T0 nog: ook niet waar. Hint: doe iets met R en Q.
) : neem twee punten in je quotient. Kijk nu naar het invers beeld. Neem hier een pad. Neem nu het beeld van dat pad. Zie in (door continuïteit) dat dit je een pad geeft. Voor lokaal samenhangend die bewering ken ik inderdaad, het probleem is dat we de samenhangscomponenten in mijn cursus niet gedefinieerd wordt aan de hand van een equivalentierelatie.Drieske schreef: ↑wo 09 jan 2013, 10:24
Ruwe schets dan
Lokaal: ken je volgende "een ruimte X is lokaal samenhangend asa alle componenten van open verzamelingen zijn open in X"?
En ben je iets met mijn hints voor T0 en T1?
. Zij O een open omgeving van een punt y in Y en C(y) de component van y in O. We willen dat C(Y) open is of dus C := f^-1[C(y)] is open. Enig idee hoe verder te gaan? Ik ben niet erg goed met die samenhangscomponenten, omdat die nogal vaag uitgelegd zijn in m'n cursus.Drieske schreef: ↑wo 09 jan 2013, 10:38
Gebruik volgende equivalentie: x ~ y asa x-y in Q. Bewering: denige opens in de quotient topology zijn de triviale opens. Neem een open O in X/~, en zij q de afbeelding die x afbeeldt op [x] (de equivalentieklasse). Nu is q^-1(O) open in R en bevat dus een interval, zeg I. Zij x nu willekeurig in R. Dan bestaan er een q in Q en een y in I zodat x = y+q. Dus x zit in [y] en dus q(x) = q(y). Kun je het afmaken?
Dat je die karakterisatie kent, helpt
