Springen naar inhoud

Oefening op extrema van functies met meerdere veranderlijken



  • Log in om te kunnen reageren

#1

humpierey

    humpierey


  • >100 berichten
  • 181 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 15:24

Kan iemand me helpen met volgende oefening:


We willen het punt op de ellips: 1/4 x² + y² = r²
bepalen dat het dichtst ligt bij (1, 0). Hierin is r > 0 een gegeven waarde.
(a) Formuleer het probleem als een minimalisatieprobleem met nevenvoorwaarden. Stel de bijbehorende vergelijkingen van Lagrange op.
(b) Welk punt op de ellips ligt het dichtst bij (1, 0) ? Uw antwoord hangt
af van de waarde van r.
[Hint: voor sommige waarden van r is het antwoord gelijk aan (2r, 0),
maar niet voor alle waarden van r.]

Hoe begin ik aan deze oefening? Alvast bedankt :)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 januari 2013 - 16:05

We willen het punt op de ellips: 1/4 x² + y² = r²
bepalen dat het dichtst ligt bij (1, 0). Hierin is r > 0 een gegeven waarde.
(a) Formuleer het probleem als een minimalisatieprobleem met nevenvoorwaarden. Stel de bijbehorende vergelijkingen van Lagrange op.


Wat zijn de ptn op afstand a van het punt (1,0).

#3

humpierey

    humpierey


  • >100 berichten
  • 181 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 16:09

ik snap niet wat je bedoeld.

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 januari 2013 - 16:13

ik snap niet wat je bedoeld.


Ik hoopte dat je aan een cirkel zou denken ...

#5

humpierey

    humpierey


  • >100 berichten
  • 181 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 16:14

Ja okay, wat doe ik daar dan mee?

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 januari 2013 - 17:37

Ja okay, wat doe ik daar dan mee?


Heb je tekeningen?
Wat is er aan de hand als r<1/2, als r=1/2 en als r>1/2

Als je ptn op de ellips kiest dan heb je toch de afstand tot (1,0), dat moet je minimaliseren ....

#7

humpierey

    humpierey


  • >100 berichten
  • 181 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2013 - 16:27

Dat moet ik nu toch nog niet doen. Eerst deel (a) van de vraag. Hoe stel ik dit op als een minimalisatie met nevenvoorwaarden, verder zal het me wel lukken.

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2013 - 16:32

Wat is je functie en wat is je beperkende voorwaarde? Dat moet je toch hebben om Lagrange te kunnen toepassen.

Wat heb je van die methode geleerd?

#9

humpierey

    humpierey


  • >100 berichten
  • 181 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2013 - 20:31

ik denk dat de functie is: f(x,y) = ((x-1)²+y²)^(1/2)
en de beperkende voorwaarde: g(x,y) = x²/4 + y² = r²
de vergelijkingen van lagrange worden dan:

df/dx = λ dg/dx
df/dy = λ dg/dy
x²/4 + y² = r²
<=>
2x-2 = λ x/2
2y = λ 2y
x²/4 + y² = r²

klopt dit?

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 januari 2013 - 20:39

Heel goed!

#11

humpierey

    humpierey


  • >100 berichten
  • 181 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2013 - 21:05

Okay, de oplossingen hangen dus af van r

als r=1/2, dan gaat de ellips door het punt (1,0) , dus is het punt het dichts erbij (1,0)
als r<1/2, dan is het punt er het dichts bij (2r,0).
en als r>1/2, dan is dit (4/3,r-2/3) of (4/3,-(r-2/3))

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 januari 2013 - 21:53

2x-2 = λ x/2
2y = λ 2y
x²/4 + y² = r²


Het is niet allemaal goed.
Wat volgt uit de tweede regel ... en daarmee uit de eerste regel?

#13

humpierey

    humpierey


  • >100 berichten
  • 181 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2013 - 14:09

ten eerste: λ = 0: dan y = 0 en x = 2r
ofwel
λ = 1: dan x = 4/3 en y = +/- (r²-4/9)^(1/2)

#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 13 januari 2013 - 14:26

ten eerste: λ = 0: dan y = 0 en x = 2r


Uit de tweede voorwaarde 2y=L*2y volgt: L=1 of y=0 (L is lambda)
Met y=0 volgt: (2r,0)
Met L=1 volgt via eerste voorwaarde: x=4/3 en dus jouw gevonden punt ...

Verder prima.

Vind je het niet bijzonder dat x=4/3 volgt (onafh van r)?

Opm: als y=0 is L onbepaald.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures