Springen naar inhoud

Discrete wiskunde: Hoeveel nullen?



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2013 - 19:52

Hallo iedereen,

Ik ben momenteel bezig met een deel van discrete wiskunde waar ik niet zo goed in ben. De vraag luidt als volgt:

Stel dat men alle natuurlijke getallen van 1 t.e.m. 1000000 opschrijft, hoeveel nullen heeft men dan geschreven ?

Ik weet totaal niet hoe ik hier moet aan beginnen. Ik ben al een uur aan het proberen maar nog steeds niets. Kan iemand me op het goede spoor zetten?

Veranderd door Kwintendr, 09 januari 2013 - 19:53

Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 20:01

Hoeveel nullen zijn er als je van 1 tot 10 gaat? Hoeveel van 1 tot 100? Hoeveel van 1 tot 1000?

De truc is om een verband te vinden tussen die aantallen.

#3

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2013 - 20:19

Dat dacht ik ook te doen en ik kwam op de volgende resultaten uit:

1 -> 10 : 1 nul
1-> 100 : 10 nullen
1 -> 1000 : 192 nullen

Daar zie ik nu niet echt een regelmaat in. Dan dacht ik om ook maar eens de nullen van 1 -> 10000 te bepalen, maar daar kruipt te veel werk in denk ik. Ik ben dan maar een systematiek beginnen te zoeken en ik vond dit:
n*10^n -2^((n-1)*3). Dit kom alleen maar uit voor de derde, en hier krijg je een waar die vrij dicht ligt tegen de waarde die je moet hebben. Alleen is een benadering niet goed natuurlijk.
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#4

A V

    A V


  • >100 berichten
  • 154 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 20:23

1-100 is dat geen 11 nullen omdat 100 er 2 heeft.
kun je niet zeggen
1 > 10 = 1
11 > 100 = 10
en hier de somatie van te nemen.
heb niet gecontroleerd voor 1000 in ieder geval.
is gewoon iets wat me opviel

#5

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2013 - 20:31

goed opgemerkt, dan bekijk ik het nog eens opnieuw
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#6

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 20:33

Achteraf bekeken is het misschien handiger om het als volgt te bekijken:

1 tot 9: geen nullen
10 tot 99: 9 nullen
100 tot 999: Hier gaan we wat meer in detail kijken.

Alle getallen van 100 tot 999 bestaan uit 3 cijfers.
Neem x,y en z cijfers 1 tot 9 (zonder 0).
Elk getal tussen 100 en 999 waar een 0 in voorkomt heeft dan een van de volgende vormen:
x00, xy0, x0z
De eerste vorm heeft 9 mogelijkheden, de 2de vorm heeft 9*9 = 81 mogelijkheden, de 3de vorm heeft ook 81 mogelijkheden. De eerste vorm levert wel 2 nullen op per getal.
De bijdrage van dit stuk is dan 2*9 + 81 + 81

Stel dat je het voor 1 tot 1000 moest weten dan heb je al:
9 + 2*9 + 81 + 81 + 3 (die 3 van 1000 moeten er nog bij geteld worden)

Stel n gelijk aan de macht van 10 tot waar je moet gaan:
n = 1: 0+1
n = 2: 0 + 9 + 2
n = 3: 0 + 9 + 2*9 + 81 + 81 + 3

Als je het nog voor 1000 tot 9999 uitwerkt en n=4 opschrijft, dan zou je er de vorm duidelijk in moeten terugvinden.

heb niet gecontroleerd voor 1000 in ieder geval.
is gewoon iets wat me opviel

Helaas loopt het daar mis ;)

#7

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2013 - 20:56

n = 1: 0+1
n = 2: 9+2
n = 3: 9 + 9 + 81 + 81 + 3

n = 4: 9 + 81 + 81 + 81 + 729 + 729 + 729 + 4

Ik zie nog geen regelmaat, buiten die het laatste getal dat altijd omhooggaat en dat er een macht 3^n bijkomt.
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#8

A V

    A V


  • >100 berichten
  • 154 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 21:04

naar mijn idee wordt het iets als 9*(n-1)+(n-1)*9(n-1)+2*(n-1)*9(n-2)

Veranderd door A V, 09 januari 2013 - 21:04


#9

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 21:11

Ik heb ondertussen een fout verbeterd in mijn vorige post.
Post ook je uitwerking eens.

Misschien dat het ook makkelijker is om een algemene formule op te stellen van dat stuk dat ik in mijn vorige post in het rood heb gezet en dan een reekssom uit te werken.

@A V: ik heb zelf geen idee waar we naartoe aan het werken zijn, maar het zal inderdaad iets worden met negens :)

#10

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2013 - 21:15

ik vond het al raar wat je had gedaan bij je 1000 :)

Voor 1000 -> 9999 heb je de volgende mogelijkheden:

x000: 9
x00y: 81
x0y0: 81
xy00: 81
x0yz: 729
xy0z: 729
xyz0: 729

Veranderd door Kwintendr, 09 januari 2013 - 21:18

Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#11

A V

    A V


  • >100 berichten
  • 154 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 21:16

Nee idd, het maakt het moeilijk omdat het aantal mogelijkheden erg groot aan het worden zijn.
En die fout was me al opgevallen omdat jij niet had meegenomen dat 100 tallen 2 nullen hebben.

9*3
81*2

Veranderd door A V, 09 januari 2013 - 21:17


#12

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 21:19

...
ik vond het al raar wat je had gedaan bij je 1000 :)
...
x000: 9
x00y: 81
x0y0: 81
xy00: 81
x0yz: 729
xy0z: 729
xyz0: 729

Je hebt de fout nog niet opgemerkt. Je aantal combinaties klopt, maar sommigen bevatten meer dan 1 nul.

@A V inderdaad :)

#13

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2013 - 21:22

ik heb ondertussen nog een andere oplossingsmethode ook:
ik heb ook nog en andere manier. Je schrijf alle getallen op van 0 - 999999 in de vorm xxxxxx, je hebt dat 6.000.000 getallen geschreven. Elk getal komt 10 keer voor. 0 komt dus 600.000 keer voor, maar er zijn nullen te veel. je krijgt dus 600.000 - 10^5 - 10^4 - 10^3 - 10^2 - 10 - 1. En dan heb je de juiste oplossing :D

EDIT: ja inderdaad, vrij dom, die met 3 nullen moeten nog maar 3 gedaan worden, hetzelfde met die van 2 :P

Veranderd door Kwintendr, 09 januari 2013 - 21:23

Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#14

A V

    A V


  • >100 berichten
  • 154 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 21:39

Kwintendr zou je me kunnen uitleggen hoe je komt op 6 000 000 raak daar de draad even kwijt.

#15

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 21:40

Die oplossing komt mij inderdaad bekend voor van vroeger, maar ik volg je redenering niet helemaal.

Ik was naar een algemene formule aan het werken van de volgende vorm:

Voor 1 tot 99 hadden we 9
Voor 100 tot 999 hadden we 2*9 + 2*81
Voor 1000 tot 9999 hadden we 3*9 + 3*81 + 3*729

Elk van die stukjes is van de vorm LaTeX

Maar je moet dan voor het totaal die som nog sommeren en dat wordt misschien te ingewikkeld.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures