Stel gegeven
1.
Ik ben eerst eens gaan kijken naar hoe de quotientverzameling eruit ziet. Het blijkt dat de equivalentieklasse van de bijzondere punten
Dus
Bvd!
Hm, ik was eens bijvoorbeeld gaan kijken naar een randpunt, bijvoorbeeldDrieske schreef: ↑wo 09 jan 2013, 22:24
Je mist nog iets lijkt me. Met de rand van je vierkant gebeurt ook nog iets speciaals.
Drieske schreef: ↑wo 09 jan 2013, 23:29
Neen. Dat is equivalent met (1/2, 1). Immers is {y, y'} = {0, 1} en x=x'. Dus overstaande randen zijn geïdentificeerd.
Het is een feit dat er zo één bestaat. De voorstelling die ik nu heb is dat de 4 hoekpunten van de rechthoek zijn toegeknepen naar 1 punt, nl. het middelpunt van de cirkel. De overstaande zijden zijn ook geidentificeerd met elkaar dus die knijpen samen tot één lijn, dus krijg je volgens mij zoiets als een middelpunt met een diameter evenwijdig met de x-as respectievelijk y-as.Drieske schreef: ↑do 10 jan 2013, 09:25
Goed . Heb je nu een idee van de bewering (is dat overigens een vraag "bestaat er zo'n homeo" of is het een feit dat deze bestaat?)? Hiervoor is het handig om je eens voor te stellen wat je ruimte nu juist is uiteraard.
Hmm ok, maar ik weet niet goed hoe de torus beschreven wordt.Drieske schreef: ↑do 10 jan 2013, 11:48
Euhm, laten we even duidelijkheid scheppen: hebben we het hier over de cirkel of de schijf? De cirkel is de rand van een schijf...
Het is veel evidenter om in eerste instantie in te zien dat je een homeomorfisme hebt tussen X/~ en de torus (of dus S1 x S1).
Het gaat inderdaad over cirkel, niet over de schijf.Drieske schreef: ↑do 10 jan 2013, 12:18
Topologisch is dat gewoon S1 x S1. Laat ik dus herformuleren naar: X/~ is homeomorf met S1 x S1. Zou je dat kunnen bewijzen?
Overigens heb je niet gereageerd op mijn eerste opmerking.
Ik vermoed van wel. De reden is dat de torus een deelruimte is vanDrieske schreef: ↑do 10 jan 2013, 12:51
Ik kom hierop terug. Laten we eerst eens kijken naar de tweede vraag: is S1 homeomorf met S1 x S1?
Dan lijkt het mij dat de cirkel niet weer wegsamenhangend is (want dan kan je nooit meer een weg maken tussen twee punten dat aan weerszijden van dat punt dat je hebt weggelaten zit)? De torus wel (omdat dit op 3-D niveau is).Drieske schreef: ↑do 10 jan 2013, 15:54
Je gevoel bedriegt je. De cirkel is niet homeomorf met de torus. Hint: wat gebeurt er als je twee punten verwijdert?