Springen naar inhoud

Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2013 - 14:24

Hallo iedereen,

Ik heb het bewijs geleerd dat elke eindige groep waarvan de orde een priemgetal is, een cyclische groep is. Een prachtig bewijs vind ik zelf, alleen snap ik er iets niet aan.

Het gaat als volgt:

Je hebt een groep (V,O) met orde p, en p is een priemgetal. g is een element van van V en is niet het eenheidselement. Alle elementen die voortgebracht worden door g steken we in een deelverzameling W. W is dus een deelverzameling van V. Het aantal elementen in W stellen we gelijk aan q. Volgens de deelgroeptest van een eindige verzameling is (W,O) een groep. Omdat W bestaat uit allemaal elementen die voortgebracht worden door 1 element is (W,O) een cyclische groep. Volgens de stelling van Lagrange is de orde van de deelgroep gelijk aan q als q een deler is van p. Aangezien p een priemgetal is heb je alleen 1 en p als delers. Maar q>1 dus q moet gelijk zijn aan p. Daaruit volgt dan dat V=W, dus de groep (V,O) blijkt cyclisch te zijn.

Ik heb hier 2 vragen bij:

- Hoe weet je dat volgens de deelgroepstest van een eindige groep, (W,O) een groep is? De enige voorwaarde is dat voor alle a,b die een element zijn van W, aOb ook een element is van W. Maar hoe weet je dat zo zeker dat dat ook zo is?

- Stel nu dat je g als element neem dat van geen enkel element in groep V een voorbrengend element is. Dan heb je maar 1 element in W. Dan klopt de stelling van lagrange toch wel en is V niet gelijk aan W?
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2013 - 15:11

- Hoe weet je dat volgens de deelgroepstest van een eindige groep, (W,O) een groep is? De enige voorwaarde is dat voor alle a,b die een element zijn van W, aOb ook een element is van W. Maar hoe weet je dat zo zeker dat dat ook zo is?


Wat je doet is: w is een element van W (niet het eenheidselement van V). Bekijk nu wOw (stel dit w^2). Volgens de groep (V,O) is dit een element van V maar per definitie ook van W (door constructie, immers je neemt w^2 op in W) .

Veranderd door Safe, 10 januari 2013 - 15:12


#3

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2013 - 15:22

jajaja, inderdaad, je hebt volledig gelijk. wOw zit inderdaad in W.
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2013 - 16:33

jajaja, inderdaad, je hebt volledig gelijk. wOw zit inderdaad in W.


Denk eraan dat je W construeert ...

#5

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2013 - 17:35

Hoe zit het dan met mijn laatste punt?
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2013 - 17:49

Hoe zit het dan met mijn laatste punt?


Kijk nog eens goed naar je constructie: dat kan dus niet!

#7

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2013 - 18:20

Ik zie het niet. als je nu de groep neemt: ({2,3}, . ) met . 'maal'

Dan is er toch voldaan aan de stelling?
De orde is een priemgetal: 2 is een priemgetal
Je moet een dus een voortbrengend element nemen, maar hoe je het nu draait of keert, je zal nooit van 2 naar 3 kunnen gaan.
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2013 - 18:56

Ik zie het niet. als je nu de groep neemt: ({2,3}, . ) met . 'maal'


Bewijs eerst maar eens dat dit een groep is ...

#9

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2013 - 19:12

ja oke, vrij dom, dat is geen groep. Ik heb het door, bedankt :)
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2013 - 19:25

Ok, succes verder.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures