[wiskunde] Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Kwintendr

Hallo iedereen,

Ik heb het bewijs geleerd dat elke eindige groep waarvan de orde een priemgetal is, een cyclische groep is. Een prachtig bewijs vind ik zelf, alleen snap ik er iets niet aan.

Het gaat als volgt:

Je hebt een groep (V,O) met orde p, en p is een priemgetal. g is een element van van V en is niet het eenheidselement. Alle elementen die voortgebracht worden door g steken we in een deelverzameling W. W is dus een deelverzameling van V. Het aantal elementen in W stellen we gelijk aan q. Volgens de deelgroeptest van een eindige verzameling is (W,O) een groep. Omdat W bestaat uit allemaal elementen die voortgebracht worden door 1 element is (W,O) een cyclische groep. Volgens de stelling van Lagrange is de orde van de deelgroep gelijk aan q als q een deler is van p. Aangezien p een priemgetal is heb je alleen 1 en p als delers. Maar q>1 dus q moet gelijk zijn aan p. Daaruit volgt dan dat V=W, dus de groep (V,O) blijkt cyclisch te zijn.

Ik heb hier 2 vragen bij:

- Hoe weet je dat volgens de deelgroepstest van een eindige groep, (W,O) een groep is? De enige voorwaarde is dat voor alle a,b die een element zijn van W, aOb ook een element is van W. Maar hoe weet je dat zo zeker dat dat ook zo is?

- Stel nu dat je g als element neem dat van geen enkel element in groep V een voorbrengend element is. Dan heb je maar 1 element in W. Dan klopt de stelling van lagrange toch wel en is V niet gelijk aan W?

Safe

Kwintendr schreef: ↑do 10 jan 2013, 14:24
- Hoe weet je dat volgens de deelgroepstest van een eindige groep, (W,O) een groep is? De enige voorwaarde is dat voor alle a,b die een element zijn van W, aOb ook een element is van W. Maar hoe weet je dat zo zeker dat dat ook zo is?

Wat je doet is: w is een element van W (niet het eenheidselement van V). Bekijk nu wOw (stel dit w^2). Volgens de groep (V,O) is dit een element van V maar per definitie ook van W (door constructie, immers je neemt w^2 op in W) .

Kwintendr

jajaja, inderdaad, je hebt volledig gelijk. wOw zit inderdaad in W.

Safe

Kwintendr schreef: ↑do 10 jan 2013, 15:22
jajaja, inderdaad, je hebt volledig gelijk. wOw zit inderdaad in W.

Denk eraan dat je W construeert ...

Kwintendr

Hoe zit het dan met mijn laatste punt?

Safe

Kwintendr schreef: ↑do 10 jan 2013, 17:35
Hoe zit het dan met mijn laatste punt?

Kijk nog eens goed naar je constructie: dat kan dus niet!

Kwintendr

Ik zie het niet. als je nu de groep neemt: ({2,3}, . ) met . 'maal'

Dan is er toch voldaan aan de stelling?

De orde is een priemgetal: 2 is een priemgetal

Je moet een dus een voortbrengend element nemen, maar hoe je het nu draait of keert, je zal nooit van 2 naar 3 kunnen gaan.

Safe

Kwintendr schreef: ↑do 10 jan 2013, 18:20
Ik zie het niet. als je nu de groep neemt: ({2,3}, . ) met . 'maal'

Bewijs eerst maar eens dat dit een groep is ...

Kwintendr

ja oke, vrij dom, dat is geen groep. Ik heb het door, bedankt

Safe

Ok, succes verder.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Re: Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Re: Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Re: Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Re: Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Re: Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Re: Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Re: Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Re: Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische

Re: Bewijs: Eindige groep met orde priemgetal is cyclische