[wiskunde] Integralen en poolcoördinaten.

humpierey

Opgave: Gegeven is de kromme K: r²=4 cos(2ϑ) met 0<ϑ<π/4. Bereken de oppervlakte van het gebied dat omsloten wordt door K en de positieve x-as.

Antwoord:

Dus eerst zetten we deze functie om naar x in functie y.

r²=4 cos(2ϑ)

<=> r² = 4(cos²(ϑ)-sin²(ϑ))

<=> r² = 4/r² (x²-y²)

<=> r^4 = 4(x²-y²)

<=> (x²+y²)² = 4(x²+y²)

<=> y^4 + y²(2x²+4) + x^4-4x² = 0

Dan bereken we de discriminant... D= 16 + 32x²

dus voor y vinden we uiteindelijk:

y= +/- (-x²+2 +/- 2(1+2x²)^(1/2) )^(1/2)

Dan zoeken we de nulpunten om de integraal op te stellen, dit lukte me ook nog makkelijk, dus ga ik niet helemaal uittypen: x=0 of x= -2 of x=2

Vervolgens stel ik de integraal op:

integraal van 0 tot 2 van: 2*(-2-x²+2(1+2x²)^(1/2))^(1/2) dx

en hier zit ik vast.

Kan iemand me helpen om dit verder op te lossen, of is er een makkelijkere manier om dit op te lossen, mvg.

Jaimy11

Het is niet nodig (hier zelfs zonde van je tijd) om de r,cos te vervangen door x en y.

Ooit een integraal van deze vorm gezien?

\(\int_{r_1}^{r_2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} drd\theta\)

Zoja, dan zou je nu verder moeten kunnen

humpierey

ohjaaaa, daar was ik naar op zoek. Okay, ik ga even proberen, bedankt

Jaimy11

Jaimy11 schreef: ↑vr 11 jan 2013, 18:04
Het is niet nodig (hier zelfs zonde van je tijd) om de r,cos te vervangen door x en y.

Ooit een integraal van deze vorm gezien?

\(\int_{r_1}^{r_2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} drd\theta\)
Zoja, dan zou je nu verder moeten kunnen

De grenzen moeten natuurlijk andersom... haha foutje

\(\int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1}^{r_2} drd\theta\)

Typhoner

Jaimy11 schreef: ↑vr 11 jan 2013, 18:22
\(\int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1}^{r_2} drd\theta\)

pssst, je bent nog een "r" vergeten in de Jacobiaan.

Voor een een functie

\(f(r, \theta)\)

is de integraal dan

\(\int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1}^{r_2} f(r, \theta) r drd\theta\)

humpierey

Hmmm, dan is het toch iets anders. Ik heb net nog een andere formule gevonden:

opp= 1/2 integraal van a tot b van [f(ϑ)]² dϑ met a<ϑ<b

als ik deze uitreken kom ik mooi 1 uit. Zou dat niet kunnen?

Jaimy11

Typhoner schreef: ↑vr 11 jan 2013, 19:38
pssst, je bent nog een "r" vergeten in de Jacobiaan.

Jaoo niet vergeten gewoon niet opgeschreven

humpierey schreef: ↑vr 11 jan 2013, 19:46
als ik deze uitreken kom ik mooi 1 uit. Zou dat niet kunnen?

Dat kom ik ook uit

Ben je geinteresseerd naar de oplossing met r en

\(\theta\)

?

humpierey

Oeh ja, zeg maar. Altijd handig

aadkr

Ik maak waarscgijnlik een rekenfout maar ik kom op het antwoord

\(\pi\)

uit

Jaimy11

\(r^2=4cos(2 \theta)\)

, dus

\(r=2 \sqrt{cos(2 \theta)}\)

Vervolgens de integraal toepassen:

\(\int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1}^{r_2} f(r, \theta) r drd\theta\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{2 \sqrt{cos(2 \theta)}} r drd\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos{(2 \theta)}d\theta = [sin{2\theta}]_0^{\frac{\pi}{4}} = 1\)

aadkr

Rekenfout gemaakt, er komt inderdaad 1 uit

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Integralen en poolcoördinaten.

Integralen en poolco

Re: Integralen en poolco

Re: Integralen en poolco

Re: Integralen en poolco

Re: Integralen en poolco

Re: Integralen en poolco

Re: Integralen en poolco

Re: Integralen en poolco

Re: Integralen en poolco

Re: Integralen en poolco

Re: Integralen en poolco