Springen naar inhoud

Differentiaal vergelijking in natuurkunde probleem


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Wolken

    Wolken


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 december 2012 - 23:28

Goede avond,

Als onderdeel van een project dient de luchtweerstandscoëfficiënt van een zelfgebouwde auto bepaald worden. Mijn hoop was echter om dit zonder de gebruikelijke windtunnel te kunnen doen, namelijk door het voertuig uit te laten rollen.
Op het moment dat de motor (elektrische in-wheel motoren) geen arbeid meer levert, werken er nog twee krachten in de bewegingsrichting (geen helling): rolweerstand aan de banden en luchtweerstand.

De rolweerstand kan op andere, meer eenvoudigere manieren bepaald worden, dus die beschouwen we hier als bekend. Rolweerstand noemen we Fr:

LaTeX

Luchtweerstand noemen we Fl en wordt gegeven (of benaderd) door:

LaTeX


Het idee van het uitrollen is nu dat we vanaf een bepaalde snelheid LaTeX de motor uit zetten en het snelheidverloop gaan meten (met een infrarood sensor in het wiel o.i.d.). hieruit bepalen we de acceleratie LaTeX als functie van de tijd LaTeX welke we invullen in LaTeX met de krachten zoals hierboven beschreven. (in feite is de acceleratie op één bepaald tijdstip genoeg maar voor de nauwkeurigheid en volledigheid kunnen we het net zo goed netjes doen)
Vervolgens bepalen we uit die vergelijking de luchtweerstandscoëfficiënt LaTeX .

Tot nu toe allemaal leuk en aardig, maar het probleem zit 'm erin wanneer ik dit wiskundig probeer op te lossen. Als we LaTeX schrijven als de tijdsafgeleide van snelheid LaTeX krijgen we:

LaTeX

door scheiding van variabelen en LaTeX en LaTeX :

LaTeX

oplossen levert:

LaTeX (met C de integratieconstante die LaTeX representeert)

en uitschrijven levert tenslotte:

LaTeX


Het vreemde daaraan is dat de snelheid dus afneemt volgens de tangens van de tijd... en dit lijkt mij ook niet te kloppen. Ik kan echter mijn fout niet vinden, dus hoop dat iemand hier tijd in wil steken en 'm aan kan wijzen!

Alvast bedankt,
Joep

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 december 2012 - 21:40

oplossen levert:

Hoe heb je die stap gemaakt?
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#3

Wolken

    Wolken


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2013 - 11:22

Hoe heb je die stap gemaakt?

Via Wolframalpha.com:
http://www.wolframal...te -1/(a+b*x^2)

#4

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 januari 2013 - 21:14

Via Wolframalpha.com:
http://www.wolframal...8a%2Bb*x%5E2%29

Wel, dan lijkt me de volledige afleiding te kloppen. Hou er rekening mee dat je formule voor wrijving enkel geldt als v(t)>0 (en eigenlijk enkel als v relatief groot is, als Reynolds > ~1000) http://en.wikipedia....ki/Air_friction

Wat er gebeurt op v(t)=0 kun je waarschijnlijk zelf bedenken. :)
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#5

Wolken

    Wolken


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2013 - 21:36

Wel, dan lijkt me de volledige afleiding te kloppen. Hou er rekening mee dat je formule voor wrijving enkel geldt als v(t)>0 (en eigenlijk enkel als v relatief groot is, als Reynolds > ~1000) http://en.wikipedia....ki/Air_friction

Wat er gebeurt op v(t)=0 kun je waarschijnlijk zelf bedenken. :)

Als de snelheid nul is, is de wrijvingskracht ook nul, en de versnelling dus ook. :)

Maar mijn afleiding kan dus niet kloppen, aangezien de snelheid van een uitrollend voertuig helemaal geen tangens beschrijft. Als de versnelling afneemt met afnemende snelheid (zoals hier het geval: de kracht neemt af met afnemende snelheid) zou de snelheid een vorm moeten hebben die steeds langzamer nul moet naderen, en er door de rolweerstand wel degelijk komt. Daar is hier geen sprake van: De snelheid nadert de nul steeds sneller....

#6

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 januari 2013 - 22:26

Als de versnelling afneemt met afnemende snelheid (zoals hier het geval: de kracht neemt af met afnemende snelheid) zou de snelheid een vorm moeten hebben die steeds langzamer nul moet naderen

Is dat zo?

Als je geen luchtwrijvig zou hebben, maar wel rolwrijving, zou de snelheid lineair naar nul gaan. Nu komt er luchtwrijving bij, dus de snelheid gaat sneller dan lineair naar nul.

Je moet anders eens spelen met de veelterm in de noemer om wat meer inzicht te krijgen in welke soorten wrijving (constant als rolwrijving, lineair of kwadratisch of zelfs exponentieel als luchtwrijving) welke soorten functies uitkomen.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#7

Wolken

    Wolken


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2013 - 00:25

Is dat zo?

Als je geen luchtwrijvig zou hebben, maar wel rolwrijving, zou de snelheid lineair naar nul gaan. Nu komt er luchtwrijving bij, dus de snelheid gaat sneller dan lineair naar nul.

"Steeds langzamer naar nul" kan nog steeds "sneller dan lineair" zijn... ;)

wat betreft die variaties: een lineaire afhankelijkheid van de snelheid geeft een afnemende exponent ('klinkt' goed), terwijl een exponentiële afhankelijkheid van v een beetje een vreemd resultaat geeft; Het komt erop neer dat voor bepaalde parameter waardes de snelheid toeneemt... (iets specifieker als exp(v) groter is dan v/c2)

#8

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2013 - 02:28

Je kunt ook LaTeX invullen in LaTeX
en kijken of je iets correct uitkomt of niet.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#9

Wolken

    Wolken


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2013 - 11:43

Je kunt ook LaTeX

invullen in LaTeX
en kijken of je iets correct uitkomt of niet.

Dan kom ik verkeerd uit... De formule zou moeten gelden voor elke t, maar faalt al voor t=0 (waarbij v=v0 uit zou moeten komen). t=0 geeft namelijk c1=0, terwijl c1 een (positieve) constante ongelijk aan nul is.

#10

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2013 - 16:06

Dan kom ik verkeerd uit... De formule zou moeten gelden voor elke t, maar faalt al voor t=0 (waarbij v=v0 uit zou moeten komen). t=0 geeft namelijk c1=0, terwijl c1 een (positieve) constante ongelijk aan nul is.

Wat? Ik begrijp niet goed wat je hier vertelt.

Ik heb je eindformule van v(t) ingevuld in het linkerlid van de tweede formule, en volgens mij komt het wel degelijk goed uit.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#11

Wolken

    Wolken


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2013 - 16:54

Wat? Ik begrijp niet goed wat je hier vertelt.

Ik vertel hier enkel dat ik er op die manier niet uit kom..

Ik heb je eindformule van v(t) ingevuld in het linkerlid van de tweede formule, en volgens mij komt het wel degelijk goed uit.

Kun je hiervan een afleiding geven? Want bij mij komt er nog steeds een tangens in voor, en wel op zo'n manier dat een constante (c1 in mijn geval) gelijk is aan de tangens kwadraat vermenigvuldigd met een aantal termen:

LaTeX

waarbij LaTeX

Veranderd door Wolken, 05 januari 2013 - 16:55


#12

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2013 - 17:36

gebruik eens dat LaTeX
dat gaat eenvoudiger rekenen.

Ik heb spijtig genoeg geen zin om de volledige uitwerking hier neer te zetten, sorry daarvoor.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#13

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2013 - 17:42

en uitschrijven levert tenslotte:

Die stap lijkt me verkeerd. je "+C" staat binnen een tangens, die kun je daar niet zomaar uit halen.

Van:

LaTeX
bekom ik:
LaTeX

Dus via:
tan(A+B) = (tan A + tan B) / (1 − tan A tan B)

LaTeX

LaTeX

Als we daar v0 uit halen. (Waarom is het onderstaande v_0?)

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

We hebben nu de relatie tussen C en v0, invullen in wat we eerder bekwamen:

LaTeX

En vereenvoudigen maar...

Intuitief klopt het niet dat je rechterzijde (de tangens) niet afhing van v0 in je oplossing. (zie je waarom?) Je had dus wel degelijk gelijk en ik had eerder ongelijk aangezien je echt ongelijk had. :)

EDIT: ik heb een paar rekenfoutjes in mijn afleiding gemaakt. Maar ik denk dat je aan de hand van wat hierboven staat wel verder kan.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#14

jkien

    jkien


  • >1k berichten
  • 3055 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2013 - 18:08

Misschien is er een mogelijkheid om op een dag met windsnelheid vw een weg te zoeken die parallel is aan de windrichting. Die weg ga je heen en weer rijden met snelheid vw, en af en toe stop je met gas geven om de initiele dv/dt van het uitrollen te meten. Met rugwind correspondeert die dv/dt met de rolwrijving; met tegenwind correspondeert hij met rolwrijving plus een tegenwind van 2vw.

#15

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2013 - 18:12

Misschien is er een mogelijkheid om op een dag met windsnelheid vw een weg te zoeken die parallel is aan de windrichting. Die weg ga je heen en weer rijden met snelheid vw, en af en toe stop je met gas geven om de initiele dv/dt van het uitrollen te meten. Met rugwind correspondeert die dv/dt met de rolwrijving; met tegenwind correspondeert hij met rolwrijving plus een tegenwind van 2vw.

Volgens mij zijn er een paar problemen met die aanpak voor een experiment:
  • Je steunt te hard op het feit dat de rolweerstand constant is. Dat is een erg grove benadering die niet klopt (als je stilstaat is er geen rolweerstand bijvoorbeeld). De rolweerstand hangt wel degelijk af van je snelheid.
  • Je gaat je windsnelheid zonder windtunnel niet constant genoeg krijgen voor een degelijk experiment.
Het experiment dat Wolken voorstelt lijkt me dan ook een stuk robuuster.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures