Springen naar inhoud

Twee-dimensionele limieten



  • Log in om te kunnen reageren

#1

AnkeH

    AnkeH


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2013 - 21:16

Hallo iedereen

Zou iemand me alstublieft eens duidelijk kunnen uitleggen, hoe men tweedimensionele limieten moet gaan berekenen? Ik heb al meerdere pogingen gedaan om op te zoeken hoe het precies in z'n werk gaat, maar nergens vind ik een duidelijke uitleg terug.

Ik heb het bijvoorbeeld over: lim (x,y) -> (0,0) x²y /(x²+y²) . Ik dacht dat het de bedoeling was dat je eerst , lim (x,y) -> (0,y) ging gaan bereken en dat je vervolgend de limiet (x,y) -> (x,0) moest gaan berekenen en indien deze uitkomsten gelijk uitkwamen, de limiet bestond. Nu ben ik tot de conclusie gekomen, dat deze wijze waarschijnlijk helemaal niet juist is, aangezien we bij een andere oefening:
lim (x,y) -> (0,0) x²y /(x^4+y²) moeten uitkomen dat deze niet bestaat, terwijl ik op mijn wijze uitkom dat die wel bestaat.

Kan iemand me alstublieft verder helpen?
Alvast bedankt

Anke

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2013 - 22:41

Hij bestaat niet omdat de functie niet continu is in (0,0).

Het punt is dat alle paden dezelfde limiet moeten hebben, als je limiet bestaat.
Kun je de paden geven langs de lijn LaTeX en LaTeX ?.

Veranderd door Jaimy11, 14 januari 2013 - 22:42


#3

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2013 - 23:11

Foutje;

LaTeX en LaTeX !

#4

AnkeH

    AnkeH


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2013 - 23:17

Wat bedoel je? Bij y=x, bekom ik dan x/(x^2+1) en bij y=sqrt(x), bekom ik (xsqrt(x))/(x^3+1). Moet ik nu voor beiden x->0 doen?

#5

AnkeH

    AnkeH


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2013 - 23:25

Had ik niet gezien, ik doe het even opnieuw.

Ik bekom nu 0 en 1/2. Klopt dit?

#6

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2013 - 23:33

Dat klopt ja.
Waarschijnlijk heb je nog niet veel verschillende voorbeelden gezien van dergelijke limieten.

De standaard manier om een limiet te benaderen is zoals je al aangaf in post #1.
Namelijk de limiet benaderen vanaf LaTeX en LaTeX .
Beide punten gaan natuurlijk door de oorsprong nu.

Maar omdat je weet dat f in (0,0) niet continu is, heb je toch al de "gut-feeling" dat de limiet niet bestaat.

Daarom zou je evt eens naar andere paden kunnen kijken dan de lijnen LaTeX en LaTeX .

Zoals je weet gaat LaTeX en LaTeX namelijk ook door de oorsprong.

Dus in principe zouden LaTeX en LaTeX en LaTeX en LaTeX allen naar hetzelfde punt moeten convergeren, namelijk 0.

Zoals we zien zijn de laatste twee limieten niet 0 in (0,0) en daarom bestaat deze limiet niet.

Verheldert dit?

#7

AnkeH

    AnkeH


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2013 - 23:38

We hebben inderdaad niet echt voorbeeld oefeningen over dit onderwerp gezien, maar aangezien ik niets aan het toeval wil overlaten, wou ik toch beter begrijpen wat het principe achter deze oefeningen was. Ik denk dat ik het wel begrijp, maar waarom zou je dan eigenlijk niet y=x en y= sqrt(x) mogen gebruiken, deze gaan toch ook door de oorsprong? Of heb ik iets fout begrepen?

#8

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2013 - 23:47

Je mag ook die functies gebruiken, maar die heb ik getypt nav een overtyp foutje van mijn kladje..
Helaas versimpelen die formules het probleem niet echt, noch oplossen...

Wat je wilde verkrijgen is in principe een standaard formule als x=y, waar meestal alles nog in orde is, en een waarbij x=... zodanig gekozen dat je dezelfde macht in de noemer,teller krijgt zoals hier nu gebeurde. Het is meestal vrij eenvoudig te vinden en lost je probleem effectief op.

Stel dat ik nu toch een waarde voor y wil kiezen? welke zou ik nemen?

Om een bewijs te geven natuurlijk dat de limiet niet bestaat :)

#9

AnkeH

    AnkeH


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2013 - 00:01

Ik zou kiezen voor y=x² ?
Alvast heel erg bedankt voor je uitleg. Het is echt al stukken duidelijker. Ik zal nog even parafraseren, in een stappenplan dan.

Voor (x,y)->(0,0)

1) (x,y) -> (0,y) en (x,y)->(x,0) => Indien je eenzelfde waarde uitkomt bestaat het limiet, behalve als je functie niet continu is in (0,0), in dat geval moet je:
2) de waarden voor x of y aanpassen, zodanig dat deze ook door de oorsprong gaan :
* Standaard x=y
*Waarde zodanig dat men dezelfde macht bekomt

En dan op die manier het limiet invullen en twee verschillende waarden uitkomen, zodanig dat aangetoond is dat de limiet niet bestaat.

#10

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2013 - 00:17

Ik zou kiezen voor y=x² ?
Alvast heel erg bedankt voor je uitleg. Het is echt al stukken duidelijker. Ik zal nog even parafraseren, in een stappenplan dan.

Dat klopt ja! Dit had je nu ook eenvoudiger af kunnen leiden uit mijn keuze LaTeX , maar nu je dat niet doet weet ik iig zeker dat je het idee snapt :)

Voor (x,y)->(0,0)

1) (x,y) -> (0,y) en (x,y)->(x,0) => Indien je eenzelfde waarde uitkomt bestaat het limiet, behalve als je functie niet continu is in (0,0), in dat geval moet je:
2) de waarden voor x of y aanpassen, zodanig dat deze ook door de oorsprong gaan :
* Standaard x=y
*Waarde zodanig dat men dezelfde macht bekomt

En dan op die manier het limiet invullen en twee verschillende waarden uitkomen, zodanig dat aangetoond is dat de limiet niet bestaat.


Klopt, al zul je vaak zien dat de standaard LaTeX vrij vaak nog correct is, waardoor je dat met de machten moet toepassen.
Misschien een domme vraag; maar je weet wel hoe je ziet dat je f(x,y) niet continu is in (0,0)?

#11

AnkeH

    AnkeH


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2013 - 00:29

Toch omdat de functie niet gedefinieerd is in (0,0) ? Dus dan klopt de voorwaarde niet dat het limiet x->a f(x) = f(a) .. .

#12

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2013 - 00:32

Prima :)

#13

AnkeH

    AnkeH


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2013 - 00:34

Hah, oké :) Hartelijk bedankt voor je uitleg!






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures