Springen naar inhoud

Deelruimtes



  • Log in om te kunnen reageren

#1

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 13:11

Ik heb een oefening over deelruimtes van vectorruimtes en ik weet niet hoe ik die precies moet oplossen.

Zij V={(x,y,z,u) elementen van R| y+z+u = 0}

en W={(x,y,z,u) elementen van R|x+y=0, z=2u}

twee deelruimten van R^4. Vind een basis voor V,W,V+W,V doorsnede W.

Ik heb denk ik al een basis voor V en W gevonden. Ik heb dit op gevoel gedaan en dan krijg ik a(basis van V)={(1,2,-1,-1),(1,-1,2,-1),(1,-1,-1,2)}. Mijn vraag hierbij is, hoe kan ik de dimensie vinden zonder de basis te kennen of gaat dat niet.
b(basis voor W){(1,-1,2,1)}. Hierbij heb ik dezelfde vraag als bij V.

Hoe kan ik een basis voor V+W bepalen, ik zou zeggen a unie b is een basis omdat de dimensiestelling zegt dat V doorsnede W alleen {0} is maar dit lijkt me onwaarschijnlijk omdat bij(-3,3,-2,-1) voor beide deelruimtes klopt.

Kan iemand mij hier antwoord op geven

Alvast bedankt

Daen Jannis

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 16:00

Bekijk eerst V.

LaTeX

Een logische eerste basisvector is die met de vrij keus voor x.
We houden van simpel dus we kiezen basisvector 1: LaTeX .

Vervolgens heb je nog de vergelijking LaTeX .
Dit kun je nog anders schrijven:

LaTeX
Je kunt nu dus waarden kiezen voor y en z. (x is al gekozen)
Een basis is dan weer LaTeX .
Dus basisvector 2: LaTeX

En met dezelfde redenering als bij de 1e basisvector kan -z-y (=u) alle waarden aannemen, en we kiezen weer de makkelijkste en passen daarop toe.
basisvector 3 is dan: LaTeX ==> let op dat je ook LaTeX kon kiezen, maar niet beiden.

Vergemakkelijkt dit je vraag iig al?

Veranderd door Jaimy11, 21 januari 2013 - 16:02


#3

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 16:06

Ik kan je iig nog een eenvoudige manier laten zien hoe je de dimensie bepaalt, maar dat komt dan nog wel :)

In principe moet je toch meestal ook de basis kunnen bepalen.

Veranderd door Jaimy11, 21 januari 2013 - 16:07


#4

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 17:18

Maar dan bepaal je 3 lineair onafhankelijke vectoren. Maar hoe weet je dan dat het er 3 zijn, dit kan toch ook 2 of 4 zijn. Dus als je de dimensie ervoor al weet, dan weet je wanneer je kunt stoppen met zoeken naar lineair onafhankelijk vectoren.

#5

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 18:38

Goed,

De dimensie bepalen van een ruimte is zeer eenvoudig.
Je hebt enkel de restrictie nodig (in dit geval y+z+u=0)

Dan kun je je deelruimte omschrijven als:

LaTeX



Dus je kunt je lineaire deelruimte beschrijven met 3 variabelen, wat impliceert dat er 3 onafhankelijke basisvectoren te vinden zijn.
Kun je toepassen op jouw deelruimte W?

#6

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 18:53

Als ik dit toepas op W dan W={(x,-x,2u,u)}
Dus is een basis voor W gelijk aan b={(1,-1,0,0),(0,0,2,1)} als ik het goed heb.

Op die manier kan ik ook een basis vinden voor de doorsnede van V en W
V doorsnede W = {3u,-3u,2u,u)} dus is de dimensie 1 en een basis is dan c={(3,-3,2,1)}

Dan weet ik dat dimV+dimW=dim(V+W) + dim(V doorsnede W)
Dus de dim(V+W) is 4. Maar hoe kan ik van deze deelruimte dan een basis vinden. Want ik snap niet wat er met de deelruimte precies bedoelt wordt in dit voorbeeld

#7

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 19:51

Als ik zo snel goed heb gekeken is LaTeX .

Dit impliceert dat LaTeX

Een basis hiervoor heb je al bijna, zie je in waarom?
Je kent basissen voor zowel U en W, kun je iets bedenken?

#8

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 20:11

Als ik gewoon zou redeneren, dan zou ik de unie van de basis van V en W doen en dan zoeken welke vector een lineaire combinatie is van de andere en die dan schrappen. Omdat er dan 4 lineair onafhankelijk vectoren zijn en de dimensie is 4, is dat een basis van V+W. Dit is toch goed ofniet?

Als ik dat dan toepas:
(0,0,2,1)=(0,0,-1,1)-3(0,1,-1,0)-3(1,-1,0,0)-3(1,0,0,0) dus de basis van
V+W={(0,0,-1,1),(0,1,-1,0)-,(1,-1,0,0),(1,0,0,0)}

Klopt dit?

#9

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 22:04

Dat klopt;

Dan bij deze het "trucje":

Hoeveel variabelen zijn er in V en W? Wat is de maximale dimensie dan voor V+W?
Is er misschien een andere basis die je zonder na te denken kunt noemen?

#10

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 23:23

Op mijn buikgevoel zou ik zeggen omdat een er 4 variabelen zijn, zou de dimensie 4 zijn.
Dan zou de standaardbasis ook een basis zijn van de deelruimte V+W. Maar als dit het geval is, is het dan juist om te zeggen dat V+W gelijk is aan de vectorruimte R^4?

#11

Jaimy11

    Jaimy11


  • >250 berichten
  • 614 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 23:26

Precies!
Daarom hoef je eigenlijk niet echt na te denken over je basis! :)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures