[wiskunde] Deelruimtes

benno321

Ik heb een oefening over deelruimtes van vectorruimtes en ik weet niet hoe ik die precies moet oplossen.

Zij V={(x,y,z,u) elementen van R| y+z+u = 0}

en W={(x,y,z,u) elementen van R|x+y=0, z=2u}

twee deelruimten van R^4. Vind een basis voor V,W,V+W,V doorsnede W.

Ik heb denk ik al een basis voor V en W gevonden. Ik heb dit op gevoel gedaan en dan krijg ik a(basis van V)={(1,2,-1,-1),(1,-1,2,-1),(1,-1,-1,2)}. Mijn vraag hierbij is, hoe kan ik de dimensie vinden zonder de basis te kennen of gaat dat niet.

b(basis voor W){(1,-1,2,1)}. Hierbij heb ik dezelfde vraag als bij V.

Hoe kan ik een basis voor V+W bepalen, ik zou zeggen a unie b is een basis omdat de dimensiestelling zegt dat V doorsnede W alleen {0} is maar dit lijkt me onwaarschijnlijk omdat bij(-3,3,-2,-1) voor beide deelruimtes klopt.

Kan iemand mij hier antwoord op geven

Alvast bedankt

Daen Jannis

Jaimy11

Bekijk eerst V.

\(V=\{(x,y,z,u) \in \mathbb{R} | y+z+u=0\}\)

Een logische eerste basisvector is die met de vrij keus voor x.

We houden van simpel dus we kiezen basisvector 1:

\((1,0,0,0) \in V\)

.

Vervolgens heb je nog de vergelijking

\(y+z+u=0\)

.

Dit kun je nog anders schrijven:

\(V=\{(x,y,z,-z-y)=(x,y,z,u) \in \mathbb{R} | y+z=0\}\)

Je kunt nu dus waarden kiezen voor y en z. (x is al gekozen)

Een basis is dan weer

\(y=-z\)

.

Dus basisvector 2:

\((0,1,-1,0) \in V\)

En met dezelfde redenering als bij de 1e basisvector kan -z-y (=u) alle waarden aannemen, en we kiezen weer de makkelijkste en passen daarop toe.

basisvector 3 is dan:

\((0,0,-1,1)\)

==> let op dat je ook

\((0,-1,0,1)\)

kon kiezen, maar niet beiden.

Vergemakkelijkt dit je vraag iig al?

Jaimy11

Ik kan je iig nog een eenvoudige manier laten zien hoe je de dimensie bepaalt, maar dat komt dan nog wel

In principe moet je toch meestal ook de basis kunnen bepalen.

benno321

Maar dan bepaal je 3 lineair onafhankelijke vectoren. Maar hoe weet je dan dat het er 3 zijn, dit kan toch ook 2 of 4 zijn. Dus als je de dimensie ervoor al weet, dan weet je wanneer je kunt stoppen met zoeken naar lineair onafhankelijk vectoren.

Jaimy11

Goed,

De dimensie bepalen van een ruimte is zeer eenvoudig.

Je hebt enkel de restrictie nodig (in dit geval y+z+u=0)

Dan kun je je deelruimte omschrijven als:

Jaimy11 schreef: ↑ma 21 jan 2013, 16:00
\(V=\{(x,y,z,-z-y)=(x,y,z,u) \in \mathbb{R} | y+z=0\}\)

Dus je kunt je lineaire deelruimte beschrijven met 3 variabelen, wat impliceert dat er 3 onafhankelijke basisvectoren te vinden zijn.

Kun je toepassen op jouw deelruimte W?

benno321

Als ik dit toepas op W dan W={(x,-x,2u,u)}

Dus is een basis voor W gelijk aan b={(1,-1,0,0),(0,0,2,1)} als ik het goed heb.

Op die manier kan ik ook een basis vinden voor de doorsnede van V en W

V doorsnede W = {3u,-3u,2u,u)} dus is de dimensie 1 en een basis is dan c={(3,-3,2,1)}

Dan weet ik dat dimV+dimW=dim(V+W) + dim(V doorsnede W)

Dus de dim(V+W) is 4. Maar hoe kan ik van deze deelruimte dan een basis vinden. Want ik snap niet wat er met de deelruimte precies bedoelt wordt in dit voorbeeld

Jaimy11

Als ik zo snel goed heb gekeken is

\(dim(U \cap W)=1\)

.

Dit impliceert dat

\(dim(U+W)=4\)

Een basis hiervoor heb je al bijna, zie je in waarom?

Je kent basissen voor zowel U en W, kun je iets bedenken?

benno321

Als ik gewoon zou redeneren, dan zou ik de unie van de basis van V en W doen en dan zoeken welke vector een lineaire combinatie is van de andere en die dan schrappen. Omdat er dan 4 lineair onafhankelijk vectoren zijn en de dimensie is 4, is dat een basis van V+W. Dit is toch goed ofniet?

Als ik dat dan toepas:

(0,0,2,1)=(0,0,-1,1)-3(0,1,-1,0)-3(1,-1,0,0)-3(1,0,0,0) dus de basis van

V+W={(0,0,-1,1),(0,1,-1,0)-,(1,-1,0,0),(1,0,0,0)}

Klopt dit?

Jaimy11

Dat klopt;

Dan bij deze het "trucje":

Hoeveel variabelen zijn er in V en W? Wat is de maximale dimensie dan voor V+W?

Is er misschien een andere basis die je zonder na te denken kunt noemen?

benno321

Op mijn buikgevoel zou ik zeggen omdat een er 4 variabelen zijn, zou de dimensie 4 zijn.

Dan zou de standaardbasis ook een basis zijn van de deelruimte V+W. Maar als dit het geval is, is het dan juist om te zeggen dat V+W gelijk is aan de vectorruimte R^4?

Jaimy11

Precies!

Daarom hoef je eigenlijk niet echt na te denken over je basis!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Deelruimtes

Deelruimtes

Re: Deelruimtes

Re: Deelruimtes

Re: Deelruimtes

Re: Deelruimtes

Re: Deelruimtes

Re: Deelruimtes

Re: Deelruimtes

Re: Deelruimtes

Re: Deelruimtes

Re: Deelruimtes