Springen naar inhoud

Sommen van onafhankelijke toevalsvariabelen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Mrlasoen

    Mrlasoen


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 14:20

Hallo!

Ik heb binnenkort examen van statistiek en zit vast bij twee vraagstukken die betrekking hebben op 'sommen van onafhankelijke toevalsvariabelen'. Ik zit er al (te) lang op te staren, dus ik zwier het even op dit forum. Ik ben namelijk een echt leek op het vlak van statistiek.

Vraag 1: Kansverdeling van 5(N(12,3)+2(N(10,2) Antwoord= Normaal verdeeld met parameters (80, (vierkantswortel 53))

Vraag 2: Stel de kansverdeling van O op, wanneer O=2(L+B), L=N(50,3), B=N(30,2). Antwoord= O is normaal verdeeld met paramaters (160, (vierkantswortel 52))

Oplossing vraag 1: Ik heb gewoon 60+80, (vierkantswortel( 45+8)) conform de regel n.sigma^2

Oplossing vraag 2: Ik los dit op dezelfde manier op. Maar dan kom ik uit: Normaal verdeeld met parameters (160, (vierkantswortel 26)) .. Na even zoeken kwam ik bij de formule van Linaire transformatie die zegt: a^2 x Variantie.
Dat wordt dan: 4x9 + 4x4 = 52 dus sigma= vierkantswortel 52

Indien er, in vraag 2 inderdaad sprake is van een linaire transformatie, hoe zie je dan het verschil met vraag 1? En moest ik er compleet naast zitten, waar ga ik de mist in?

Bedankt
Mrlasoen

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 januari 2013 - 14:28

Stel je hebt 2 onafhankelijke toevalsvariabelen, elk normaal verdeeld:
(Merk op, ik schrijf de variantie in plaats van de standaardafwijking tussen de haakjes.)

LaTeX
LaTeX
En Z = X+Y, dan LaTeX

...conform de regel n.sigma^2...

Als je vermenigvuldigt: n*X, dan wordt het gemiddelde vermenigvuldigd met n, maar de variantie met n². Dus het is n.sigma of n².sigma² afhankelijk van je notatie.

1)
5*N(12,9) = N(60, 25*9)
2*N(10,4) = N(20, 4*4)
De som van beide zou dan N(80, 241) geven.
Tenzij ik me zelf vergis, is de oplossing die jij hebt verkeerd.

2)
L+B ~ N(80, 9+4)
2*(L+B) ~ N(160, 4*13) = N(160, 52)

#3

Mrlasoen

    Mrlasoen


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 15:13

Bedankt voor het snelle antwoord!

Nu blijft mijn vraag: Waarom staat het antwoord in het boek anders dan wat jij hebt opgelost. Laat ik daarom even de volledige vraag meegeven:

Een dokter vertrekt van thuis naar het ziekenhuis om 5 patienten te onderzoeken. De enkele reistijd (in minuten) van thuis naar het ziekenhuis is een toevalsvariabele die een N(10,2) verdeling volgt. De benodigde behandelingstijd per patient is een toevalsvariabele die een N(12,3) verdeling volgt. Beide zijn twee aan twee onafhankelijk. Nu moeten we berekenen wat de kans is dat de dokter ten minste 75 minuten weg is van huis.

In de oplossing wordt er wel degelijk gewerkt met: N(80,vierkantswortel(53)) (de uiteindelijke berekening is geen probleem, enkel hoe je aan die verdeling komt). Een fout in mijn boek is uiteraard ook niet uitgesloten!

Thx

#4

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 januari 2013 - 15:37

Ah nu zie ik het:

De dag van de dokter zal eruit zien als: N(10,2) + N(12,3) + N(12,3) + N(12,3) + N(12,3) + N(12,3) + N(10,2)
Als je hier de somregel op toepast dan krijg je een gemiddelde van 10+12+12+12+12+12+10 = 80
En een variantie van 2² + 3² + 3² + 3² + 3² + 3² + 2² = 53

Het subtiele verschil met de 2de oefening is dat je hier puur met sommen van toevalsvariabelen zit. In oefening 2 beschouw je een toevalsvariabele waarin elke mogelijke waarde vermenigvuldigd wordt met een constante.

#5

Mrlasoen

    Mrlasoen


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 16:05

Opnieuw komt hetzelfde voor:

40 x N(6, vierkantswortel(8/6))

Dan is standaardafw toch gelijk aan vierkantswortel(8/6) x 40= 46,18
En var(x): (8/6) x 40^2

Oplossing in mijn boek spreekt over vierkantswortel (320/6)?

Bedankt! Nu begrijp ik het beter

Veranderd door Mrlasoen, 21 januari 2013 - 16:06


#6

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 januari 2013 - 16:06

40 x N(6, vierkantswortel(8/6))

Dan is Var(x) toch gelijk aan vierkantswortel(8/6) x 40= 46,18


N(6, vierkantswortel(8/6))
In de notatie die jij gebruikt is vierkantswortel(8/6) de standaarddeviatie, dus de variantie is 8/6
Als je 40 samples uit die verdeling optelt dan vermenigvuldig je de variantie met 40. Dat geeft 320/6. De standaardafwijking is dan de wortel hiervan.

#7

Mrlasoen

    Mrlasoen


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 16:27

"Als je vermenigvuldigt: n*X, dan wordt het gemiddelde vermenigvuldigd met n, maar de variantie met n². Dus het is n.sigma of n².sigma² afhankelijk van je notatie."

Vermenigvuldigen is dan weer een voorbeeld van puur optellen van toevalsvariabelen?

Hoe zie je het verschil?

Mijn excuses hoor, ik ben even verward!

#8

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 januari 2013 - 16:39

Ik begrijp je verwarring wel hoor.

Je moet inzien dat er een verschil is tussen het optellen van toevalsvariabelen (bijvoorbeeld Y = X+X) en een lineaire transformatie maken van een toevalsvariabele (Y = 2X). Als je gewoon optelt dan gebruik je de somregel (gemiddeldes en varianties worden opgeteld, de variantie hier wordt dan maal 2 gedaan). Als je de lineaire transformatie maakt dan moet je de variantie maal 4 (=2²) doen.

#9

Mrlasoen

    Mrlasoen


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 17:04

Ok Xenion, merci! Je hebt me al een heel stuk verder geholpen.

Al begrijp ik nog steeds niet wat waarom 2X een linaire transformatie is en 40X behoort tot het optellen van toevalsvariabelen. Werd de linaire transformatie gebruikt in oefening 2 omdat het 2(N1+N2) was? En bij 40(N) is er maar 1 verdeling, waardoor je ze moet zien als een optelling..

Iets in die aard?

#10

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 januari 2013 - 17:07

Normaal gezien zou dat uit de notatie en/of de context duidelijk moeten zijn. Is het mogelijk om een scan van de originele opgaven te posten?

In de opgave met de dokter was het bijvoorbeeld door de context duidelijk. Aangezien je de onderliggende som makkelijk ziet.

#11

Mrlasoen

    Mrlasoen


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 17:22

Ja ok inderdaad. Het lijkt me dus eerder een vorm van aanvoelen te zijn. Ik zie wel hoe het op mijn examen wordt gevraagd. De opgave heb ik er toch nog even bijgestopt!

Alvast nen dikke merci

#12

Mrlasoen

    Mrlasoen


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 17:55

Ik denk dat het verschil tussen 2X en 40X hem ligt in de Centrale limietstelling. Er staat: .. Dan geldt voor grote waarden (n groter dan 30) de som en het gemiddelde normaal verdeeld zijn.

#13

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 januari 2013 - 18:04

Nee, je werkt momenteel al met sommen van verdelingen die al normaal verdeeld zijn. De som daarvan zal normaal verdeeld zijn ongeacht hoeveel termen je gebruikt.

De centrale limietstelling zegt dat de som van onafhankelijke toevalsvariabelen naar een normale verdeling gaat, onafhankelijk van de verschillende verdelingen. Kijk daarvoor eens naar de histogrammen die ik hier heb gemaakt.

Je zegt "De opgave heb ik er toch nog even bijgestopt!", maar ik zie ze nergens. Kan je de originele opgave van oefening 2 in je eerste post en dan die oefening met die 40 eens scannen en hier posten?

#14

Mrlasoen

    Mrlasoen


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2013 - 19:11

Ik denk dat ik het begrijp. Het heeft inderdaad niets te maken met de centrale limietstelling.

Linaire transformatieregels moet je gebruiken wanneer je een normale verdeling vermenigvuldigt of deelt.

De oefening van die 40, ging over 40 meerkeuzevragen, of de oefening van de dokter ging over 5 patienten. Dan moet je de somregel gaan gebruiken.

Misschien wat kort door de bocht uitgelegd, but it will do. Ik herken nu toch bijna alle situaties waar ik, hetzij linaire transformatie, hetzij somregel moet toepassen.

Klopt dit ongeveer? Anders probeer ik straks nogmaals de opgaves op dit forum te zetten.

#15

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 januari 2013 - 19:16

Ik denk dat je het wel begrijpt :) Het is niet altijd even voor de hand liggend en zoals je ziet met die oefening van de 40 is de context wel belangrijk hier.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures