Springen naar inhoud

Laplace transformatie betekenis?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Rick104547

    Rick104547


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 januari 2013 - 14:16

Ik zie in de uitleg die ik van school heb gekregen (en op internet heb gezocht) dat de Laplace transformatie een functie transformeert naar een andere functie. Dat vind ik best heel vaag. Hoe moet ik me dat voorstellen? Wat betekent die nieuwe functie dan?

Ik weet dat de Laplace transformatie word gebruikt bij differentiaal vergelijkingen waardoor het een algebraïsch probleem word (maar waarom dat zo is?). Maar dat blijft allemaal vrij abstract en zelf heb begrijp ik dan ook niet wat ik precies doe. Ik volg gewoon simpel de regeltjes en daar rolt uiteindelijk dan het juiste antwoord uit.

Ik wil juist meer kunnen dan alleen regeltjes toepassen zonder te weten wat die precies betekenen. Dan onthoud ik het ook een stuk beter.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 januari 2013 - 14:44

Ik gebruik zelf Laplace amper, dus mijn kennis daarvan is eerder beperkt.

Weet je wat de Fourier transformatie betekent? De Laplace transformatie kan je zien als een veralgemening daarvan.

Betreft die differentiaalvergelijkingen:
Je hebt een heleboel eigenschappen die rekenen in het Laplace domein interessant maken. Een afgeleide nemen van een functie wordt in het Laplace domein een vermenigvuldiging met s. Zie hier voor een voorbeeldje. De prijs die je betaalt is dan dat je de Laplace transformatie moet berekenen en achteraf ook de inverse transformatie.

#3

Rick104547

    Rick104547


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 januari 2013 - 15:22

Fourier transformatie heb ik niet gehad.

#4

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 januari 2013 - 15:32

Wel de Fourier transformatie is ongeveer hetzelfde. In Laplace transformeer je naar een nieuw domein waarin de s een complexe variabele is. In de Fourier transformatie doe je hetzelfde maar je beperkt s tot de imaginaire as en je werkt enkel met LaTeX .

Om dat te interpreteren kan je naar de onderstaande afbeelding kijken:
De blokgolf is het originele signaal f(t) in het tijdsdomein. Fourieranalyse (f(t) wordt F(w)) zegt dat je een signaal ook kan schrijven als een som van sinussen (of complexe exponentialen). Dat is de stippellijn. Je hebt oneindig veel sinussen nodig om het signaal exact te beschrijven, maar in deze figuur zie je dat je met 3 sinussen toch al de vorm van de blokgolf begint te zien.

Een waarde F(w) zegt dan dat er in het tijdssignaal een sinuscomponent met een frequentie w en amplitude |F(w)| aanwezig is. (Aangezien de Fouriertransformatie complex is, zit er ook nog informatie over de fase van die sinus in.)
Geplaatste afbeelding
(bron)

De Laplace transformatie is een veralgemening daarvan. Maar het idee is daar ook dat je van het tijdsdomein naar een soort frequentiedomein gaat.

Voor de zuivere wiskunde heb je hier waarschijnlijk niet veel aan. Dit is meer de denkwijze van ingenieurs.

#5

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 januari 2013 - 19:53

Ik ga hier meevolgen. Waarom zou je dat eigenlijk die blokfunctie willen schrijven als sinussen? Gewoon om gemakkelijker te rekenen?
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#6

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 januari 2013 - 21:07

Dat is in mijn ogen gewoon de eenvoudigste manier om te illustreren wat de Fourier transformatie betekent. Het nut daarvan is daar inderdaad niet meteen duidelijk mee.

Er zijn tal van toepassingen waarin het handig is om in het frequentiedomein te kunnen kijken, maar beschouw volgend voorbeeld: (Dit illustreert min of meer het concept van Frequency Division Multiplex.)
  • Stel je hebt een microfoon hangen in een kamer en er spreken tegelijkertijd een man en een vrouw.
  • Elke persoon produceert een geluidsgolf en je microfoon meet de som van beide.
  • Als je achteraf dat signaal plot dan kan je in het tijdsdomein onmogelijk zien wat juist het signaal van de man was en wat het signaal van de vrouw was.
  • Als je echter naar het frequentiedomein gaat dan zal je zien dat de energie duidelijk op 2 plaatsen in het spectrum is verdeeld. De man spreekt met veel lagere frequenties als de vrouw.
  • Als je nu in de Fourier transformatie al die hoge frequenties op 0 zet en dan neem je de inverse transformatie, dan heb je enkel de stem van de man over.
Uiteraard is het in praktijk niet zo eenvoudig, maar dit schetst het idee. Frequenties op 0 zetten of frequenties juist extra versterken is een vorm van filteren. Als je met filters werkt dan is het meestal eenvoudiger om naar het frequentiedomein te kijken.

Aangezien het topic origineel over Laplace gaat, zal ik daar ook maar een praktische toepassing van vermelden. Als je een elektrische RLC schakeling en een mechanisch massa-veer-demper systeem uitrekent, dan zal je zien dat die vergelijkingen op de naam van grootheden na exact hetzelfde zijn. In het Laplace domein worden lastige operaties zoals afgeleiden en integralen vervangen door vermenigvuldigingen en delingen met s. Op die manier kan je relatief eenvoudig het verband tussen de input en output van een systeem beschrijven. In dat vakgebied wordt erg veel in het Laplace domein gewerkt.

#7

Rick104547

    Rick104547


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 januari 2013 - 12:49

Dus als ik het goed begrijp zou dit een voorbeeld kunnen zijn van een frequentie domein?:

http://blog.i4-muziq...requencies.jpeg

Met x-as frequentie en y-as amplitude?

#8

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 januari 2013 - 13:12

Dus als ik het goed begrijp zou dit een voorbeeld kunnen zijn van een frequentie domein?:

Ja inderdaad; je kan er heel ruw in zien hoe de energie verdeeld is over het spectrum, maar je krijgt niet veel details. Voor muziek is het intuïtief het eenvoudigste om het te begrijpen. Maar trillingen in het algemeen (bv in mechanische constructies of een motor) zouden ook op zulke manieren geanalyseerd kunnen worden.

In welke context ben jij nu met Laplace bezig? Een toegepaste cursus of zuiver wiskundig?

#9

Rick104547

    Rick104547


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2013 - 13:34

Voor school krijg ik een toets waar dit zuiver wiskundig word gevraagd. Maar ik weet van mezelf dat het begrijpen wat dingen betekenen in plaats van dom regeltjes toepassen een stuk beter werkt voor mij.

#10

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8933 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 januari 2013 - 14:09

Ik wil juist meer kunnen dan alleen regeltjes toepassen zonder te weten wat die precies betekenen. Dan onthoud ik het ook een stuk beter.


Wat je zou kunnen doen is proberen af te leiden waarom de Lapace-transformatie van een afgeleide is zoals die is.
Op zich is dat niet heel moeilijk, je moet dan terug naar de definitie van de Laplace-transformatie en die definitie toepassen op een functie f'

Dat laatste gaat met partiële integratie

Verder kun je er ook zo naar kijken: Het toepassen van een Laplace-transformatie is een bewerking, zoals vermenigvuldigen en optellen dat ook is. Soms is het makkelijk om op een vergelijking bepaalde bewerkingen toe te passen zodat die in een vorm komt waarmee je verder kunt werken. Zolang je aan beide zijden van het = teken dezelfde bewerking toepast is dat allemaal prima. In het geval van differentiaalvergelijkingen kan een Laplace-transformatie handig zijn, omdat je de differentiaal-termen "ineens" kwijtraakt.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#11

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 januari 2013 - 14:10

Voor school krijg ik een toets waar dit zuiver wiskundig word gevraagd. Maar ik weet van mezelf dat het begrijpen wat dingen betekenen in plaats van dom regeltjes toepassen een stuk beter werkt voor mij.

Mogelijke toepassingen ervan kennen zal de wiskunde niet makkelijker maken, maar zo weet je toch dat je er misschien later nog iets aan hebt :P

Zoals Marko zegt, die basiseigenschappen zijn eenvoudig te bewijzen: het is interessant om die eens zelf na te rekenen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures