[wiskunde] Verschil uniforme continuïteit en 'gewone' continuïteit

Kwintendr

Hallo iedereen,

Ik lig momenteel wat in de knoop met het verschil tussen uniforme continuïteit en 'gewone' continuïteit. Ik weet perfect wat gewone continuïteit is. Dat wil vrij vertaald zeggen dat als de beelden dicht bij elkaar liggen, de functie waarden ook dicht tegen elkaar moeten liggen. Dit alles op het definitiegebied van de functie natuurlijk. Wat ik dan versta onder uniforme continuïteit is dat als het verschil van originelen klein is, dat het verschil van de beelden dit ook moet zijn. Althans, dat zegt wikipedia toch. Alleen vraag ik me af, wat is klein genoeg? Kijk naar 1/x, die is niet uniform continu. Ik zou zeggen omdat die te snel stijgt dan. Maar ik vrees er voor dat deze verklaring geen steek houdt. Als je naar de epsilon-delta definities kijkt zie ik ook al niet veel verschil op wikipedia. Kan iemand heel simpel het verschil zeggen?

EvilBro

Een functie f is continue in \(x_0\) als \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)\). Voor de limiet moet er dan voor elke epsilon een delta zijn zodat als je een x-waarde selecteerd uit de delta-omgeving van \(x_0\) dat dan het beeld van die x ligt in een epsilon-omgeving van \(f(x_0)\). Als dit voor alle punten geldt dan is de functie continue.

Wat belangrijk is om hierbij te beseffen is dat elk punt onafhankelijk van elkaar geevalueerd wordt. Zo is het voor een bepaald punt misschien zo dat als je delta 0.1 kiest epsilon 1 is. Dit hoeft echter niet voor alle punten te gelden. Als er een ander punt is waarvoor dit niet geldt dan kan de functie nog steeds continue zijn. Als er dan tenminste maar een andere delta+epsilon is zodat het verhaal wel opgaat.

Bij uniforme continuiteit is dit anders. Hierbij moet voor een specifieke epsilon er een delta zijn zodat dit geldt voor alle punten. Alleen als dit zo is voor alle punten dan is de functie uniform continue.

Voor 1/x lukt dit niet. Stel dat je een epsilon/delta combinatie hebt waarmee je kan laten zien dat een bepaald punt van de functie continue is.Er is altijd een punt dichterbij nul waarvoor zal gelden dat binnen de delta-omgeving leidt tot buiten de epsilon-omgeving.

Kwintendr

Als ik het dan goed begrijp wil dat zeggen dat y=x^2 ook niet uniform continu is, net als x^3 enz. Mijn vraag is dan als volgt. y=x zal dan wel uniform continu zijn want als je 1 epsilon en delta bepaald heb je direct de beschrijving al voor de volledige functie. Volgens de definitie is dan y=sqrt(x) ook uniform continu. Waar trek je dan de grens? Is het dan juist als ik zeg dat functie die beelden hebben over heel R en die altijd maar steiler en steiler stijgen (resp dalen), dat die dan niet uniform continu zijn?

EvilBro

Waar trek je dan de grens?

Wat voor grens wil je trekken dan? Of je voldoet aan de definitie of niet, zo simpel is het volgens mij.

Is het dan juist als ik zeg dat functie die beelden hebben over heel R en die altijd maar steiler en steiler stijgen (resp dalen), dat die dan niet uniform continu zijn?

Ik denk dat dat klopt (maar ik heb daar geen wiskundig bewijs voor geconstrueerd).

Kwintendr

Wel, in de cursus staat het bewijs dat 1/x uniform continu is in 0,+oneindig. Hiervoor neem je de rij xn =

\(1/n\)

en yn =

\(1/(n+1)\)

. Dan gaat

\((xn-yn)-> 0\)

en

\(abs((1/(1/n))-(1/(n+1)))=1\)

. Dat is zo voor alle n. Dat wil dus zeggen dat als je een delta neemt, neem nu 0.1 en een epsilon > 1, bv 1.5, dat je voor alle punten in dat interval, eenzelfde epsilon en delta hebt?

Axioma91

Kwintendr schreef: ↑do 24 jan 2013, 16:42
Wel, in de cursus staat het bewijs dat 1/x uniform continu is in 0,+oneindig.

Weet je zeker dat precies dit er staat? Is f als volgt uniform continu?

\( f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R} \)

gegeven door

\( f(x) = \frac{1}{x}\)

Kwintendr

ik bedoelde natuurlijk niet uniform continu. Maar wat ik hierboven geschreven heb klopt impliceert toch dat 1/x uniform continu is?

Axioma91

Ik zie niet wat je met de laatste zin probeert te doen. Je zegt dat met de opeenvolgende punten in je rijtje het verschil in de functie altijd 1 is. Waarom zou je je epsilon daarop willen fixeren?

Intuitief kun je uniforme convergentie opvatten als ''een benaderende functie moet overal ongeveer even snel naar de functie convergeren''.

Kwintendr

Ik doe dat omdat de definitie is : | f(x) - f(y) | en die is altijd 1als je naar mijn een van mijn vorige posts kijkt.

Axioma91

Kwintendr schreef: ↑do 24 jan 2013, 18:25
Ik doe dat omdat de definitie is : | f(x) - f(y) | en die is altijd 1als je naar mijn een van mijn vorige posts kijkt.

Ik zou de eerste post van EvilBro nog eens doornemen. Voor jouw rijtje is het verschil 1. Verder wil je dat stuk onder een willekeurig kleine epsilon houden, dus vandaar de vraag waarom fixatie op 1. Als je bedoeling is de negatie van uniforme continuiteit aan te tonen, dan kun je dit mogelijk wel gebruiken.

Kwintendr

Ik denk dat ik het misschien zie, dat verschil is wel altijd 1, maar dan is |Xn - Yn| niet meer kleiner dan delta. Dus je delta varieert hevig dicht bij nul. Klopt dat?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Verschil uniforme continuïteit en 'gewone' continuïteit

Verschil uniforme continu

Re: Verschil uniforme continu

Re: Verschil uniforme continu

Re: Verschil uniforme continu

Re: Verschil uniforme continu

Re: Verschil uniforme continu

Re: Verschil uniforme continu

Re: Verschil uniforme continu

Re: Verschil uniforme continu

Re: Verschil uniforme continu

Re: Verschil uniforme continu