Zij
\((X,Y)\)
een 2-dimensionale stochastische vector. met gezamenlijke dichtheidsfunctie\(f_{X,Y}(x,y) = \displaystyle \left \{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2y^3} \quad \mbox{indien} \ (x,y) \in S \\ 0 \qquad \mbox{elders} \end{array} \right.\)
met \(S \subset \mathbb{R}^2\)
de vierhoek met de punten \(\displaystyle \left(1,\frac{1}{2}\right), \left(2,\frac{1}{2}\right), (2,1)\)
en \((4,1)\)
als hoekpunten.Gevraagd:
1. Toon aan dat dit een 2-dimensionale dichtheidsfunctie is.
2. Bereken de marginale verdelingen
Ik ben dus eerst op zoek gegaan naar het definitiegebied van
\(S\)
. Als ik het goed heb gedaan zou dat moeten zijn \(S=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x\geq \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \leq y \leq 1, 4y-x \geq 0 \ \mbox{en} \ 2y-x \leq 0 \}\)
\(=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x \geq \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \leq y \leq 1, \ 2y \leq x \leq 4y, \ \frac{x}{4} \leq y \leq \frac{x}{2}\}\)
Ik heb m'n gebied en eigenlijk zou ik nu meteen m'n integratiegrenzen moeten kunnen aflezen om \(\int \int_{S} f_{X,Y}(x,y)dy dx\)
te kunnen berekenen. Echter lukt me dit niet, aangezien er zoveel voorwaarden zijn dat ik niet goed weet welke grenzen ik moet nemen. Ik weet het eigenlijk in het algemeen niet goed, waneer gebruik je nu welke voorwaarde?Dit ook voor de marginale dichtheden. Als ik bijvoorbeeld de marginale dichtheid van
\(X\)
zou moeten berekenen, i.e \(f_{X}(x)= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy\)
, wat moet ik nu als grenzen nemen?Bvd!
