Springen naar inhoud

DV 2


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 december 2005 - 17:56

x" + x = t.e^2t

de A.O. van de gereduceerde D.V. is: A.cos(t) + B.sin(t)

D = -4 = 2j --> x1,2 = +1j en -1j

De P.O.

men kan deze vinden door oa. de Wronskiaan uit te rekenen.

Maar soms als het storingslid een welbepaalde functie is kan men deze vinden in tabellen.

Nu is dit bij deze g(x) het geval ?
In de tabel staat nl.: als g(x) van de vorm C. e^w.x is kan men dit schrijven als A.e^ax voor "w" geen wortel van de kararkt. vgl en A.x^p.e^ax met "w" een p-voudige wortel van de karakt. vgl.

Nu is mijn vraag wat is een p-voudige wortel (hier) ?
En welke van deze 2 is van toepassing als ik in de juiste veronderstelling ben dat de tabel gebruikt mag worden..?
Vervolgens moet dan wss die constante A berekend worden door de oplossing (uit de tabel) in te vullen in de D.V.
Maar daarmee heb k een probleem omdat k ni weet wa die p-wortel is en welke oplossing uit te tabel te nemen.
en zou eventueel de verdere uitwerking kunnen gegeven worden.

Opl.: x(t) = A.cos(t) + B.sin(t) + (1/25) . (5t-4) . e^2t.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 30 december 2005 - 19:34

Hint: probeer x=Ate^t+Be^t=(At+B)e^t
Waarom: omdat de PO van de dv x''+x=0 van de vorm x=...te^t moet zijn maar dan krijg je ook (automatisch) de term ...e^t!

Een vb (x-1)^2*(x-2)=0 heeft een 2-voudige wortel x=1 en een enkelvoudige wortel x=2. Een p-voudige wortel betekent dus dat een opl p maal voldoet.
Ten overvloede: x''+x=0 met de substitutie x=Ce^(at) geeft de KV a^2+1=0 dus geen meervoudige wortels voor a.

#3

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2005 - 10:55

begrijpt het niet ecvht, waarom x=Ate^t+Be^t=(At+B)e^t proberen ?

Haal je dat uit die zogenaamde tabel of .. is dat lukraak gekozen of is dat een opl. die algemeen gekend is ... ? is dat een veelterm met combinatie een e-macht ???

enige uitleg aub, begrijp je keuze niet en waaro precies die oplossing proberen ??

PS tis trouwens e^2t telkens dus ik veronderstel dat dan wordt:

x=Ate^2t+Be^2t=(At+B)e^2t

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 31 december 2005 - 12:34

Kijk, als je een PO zoekt 'probeer' je een ťťn of andere functie x(t), het resultaat hier (na x''+x) moet zijn t*e^t. Als je de functie t*e^t differentiŽert krijg je altijd de term t*e^t terug (vanwege de e-macht) maar ook de term e^t. Dan moet noodzakelijkerwijs de gezochte functie van de vorm (At+B)e^t zijn waarin A en B nog nader bepaald moeten worden.
Dat ligt bij tan(t) even anders!

#5

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2005 - 16:10

akkoord.. dus de oplossing moet zijn:

t.e^2t dus om een oplossing te proberen moet je dit differentieren..

dan verkrijg je toch de term:

A.e^2t +2Bt.e^2t

en jij zegt dat het: A.e^t + Bt.e^t moet zijn

PS 't is e^2t en niet t, maakt dat dan niks uit ... wat is dan de goede oplossing... ?

A.e^2t +2Bt.e^2t
of
A.e^2t +Bt.e^2t
of
A.e^t +Bt.e^t
...


of waar ga ik hier de mist in ...

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 december 2005 - 16:34

In het algemeen werkt deze methode niet, maar wanneer er sprake is van wat ik een "bijzonder rechterlid" zal noemen dan kan je je PO relatief gemakkelijk vinden door zelf een voorstel te doen dat van de vorm van het rechterlid is. Onder "bijzonder rechterlid" valt het product van een veelterm met een e-macht (en via die e-macht ook eventueel sinussen en cosinussen).
Je voorstel moet wel zo algemeen mogelijk zijn, in de vorm van het rechterlid. Dus als je rechterlid bvb "sin(2x)" is, dan wordt je voorstel tot PO een lineaire combinatie van sinus en cosinus, bvb: Asin(2x)+Bcos(2x).

Terug naar jouw geval, daar staat een e-macht vermenigvuldigd met een veelterm van de eerste graad. Dit boots je na, maar in het meest algemene geval (dus niet gewoon de lineaire term, maar ook de constante). Bijvoorbeeld: (At+B)e^(2x). Leidt dit twee keer af, substitueren in de DV en coŽfficiŽnten identificeren om A en B te bepalen.

Er is wel een extra subtiliteit wanneer je voorstelt tot PO reeds oplossing is van de homogene vergelijking, maar dat zal ik hier voorlopig buiten beschouwing laten omdat je dat niet nodig hebt.

#7

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2006 - 12:03

als je dus (At+B)e^2t invult is de DV als PO en dus afleidt ed..

ik veronderstel toch als ja A.t.e^2t + B.e^2t afleidt dat dat dan wordt: A.e^2t + 2A.t.e^^2t + 2B.e^2t ???

dan kom ik het volgende (stelsel) uit:

A(4+5t) + 5B = t... hoeveel is A dan en B ???

mvg

iemand die me kan vertellen wat A en B zijn hier ??

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 januari 2006 - 15:50

Het voorstel tot particuliere oplossing was dus: xp = (At+B)e2t = Ate2t + Be2t

Dan hebben we:
xp' = 2Ate2t + Ae2t + 2Be2t
xp'' = 4Ate2t + 4Ae2t + 4Be2t

Geplaatste afbeelding

Je volledige oplossing is dan x = xh + xp

#9

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 januari 2006 - 22:27

is volgende DV een vgl van Bernouilli ??

dy/dx + (1/x≤).y = (8/x≤) . cos≤(1/2x)

hhoe kun je dat zien dat het een Bernouilli DV is ???

zoja hoe herschrijf je ze best ??? of los je ze zo op onder deze vorm ?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures