E-veld bij een weerstand

Bartjes

Dit alles leidt tot de volgende interessante vragen:

Je hebt twee weerstanden R_A en R_B van gelijke afmetingen bestaande uit respectievelijk de materialen A en B. De soortelijke weerstanden van A en B zijn gelijk, maar materiaal A vertoont een merkbare polarisatie als reactie op een elektrisch veld en materiaal B niet. Zijn de gelijkstroomweerstanden van R_A en R_B nu gelijk?

Of nog fundamenteler: kan je de soortelijke weerstand van een materiaal wel los van zijn polarisatie definiëren? Het elektrische veld in het materiaal hoeft immers niet gelijk te zijn aan het extern aangelegde elektrische veld.

Bartjes

Ik bekijk een zeer simpel model. Zie:

: simpel-model-1.JPG (36.72 KiB) 987 keer bekeken

U is de spanning over de weerstand. I is de stroom door de weerstand. Q en -Q zijn de vrije ladingen op de aansluitvlakken van de weerstand. Q' en -Q' zijn de totale gebonden ladingen van de in het materiaal geïnduceerde dipooltjes, voor zover die op aansluitvlakken van de weerstand uitkomen. De overige ladingen van de dipooltjes worden door omliggen dipooltjes teniet gedaan. Er zit ook nog wat oppervlaktelading aan de buitenkant van de weerstand, maar dat is bij de gekozen geometrie verwaarloosbaar weinig.

: simpel-model-2.JPG (20.63 KiB) 986 keer bekeken

De afmetingen van de weerstand zijn a, b en c. Het weerstandsmateriaal wordt geacht te zijn opgebouwd uit kubusjes met ribbe d die elk precies één materiaaldeeltje bevatten. De materiaaldeeltjes zijn positief geladen, en de vrije elektronen zwerven door het materiaal zodat het geheel elektrisch neutraal is. Wel is het weerstandsmateriaal polariseerbaar: dat wil zeggen elk materiaaldeeltje vertoont een dipoolmoment q.e dat het elektrische veld tegenwerkt waarbij we e constant veronderstellen en aannemen dat q recht evenredig is met het elektrische veld E ter plaatse:

\( q = \frac{\alpha}{\mbox{e}} \, . \, E \)

.

http://en.wikipedia..../Polarizability

Wat er uit dit model rolt zullen we zien. Het is de vraag of het niet te simpel is, maar je moet ergens beginnen.

Bartjes

Volgens figuren 4 en 5 geldt er voor het aantal weerstandsmateriaaldeeltjes N dat tegen één aansluitvlak van de weerstand rust dat:

\( N = \frac{b . c}{d^2} \,\,\,\,\,\,\,\, (1) \)

.

In het vorige berichtje hadden we al:

\( q = \frac{\alpha}{e} \, . \, E \,\,\,\,\,\,\,\, (2) \)

.

Volgens figuren 3 en 5 vinden we de gebonden lading Q' bij het linker aansluitvlak van de weerstand met:

\( Q' = N \, . \, -q \,\,\,\,\,\,\,\, (3) \)

.

Zodat:

\( Q' = \left ( \frac{b . c}{d^2} \right ) \, . \, - \left ( \frac{\alpha}{e} . E \right ) \)

\( Q' = - \, \alpha \, . \, \frac{b . c}{d^2 . e} \, . \, E \,\,\,\,\,\,\,\, (4) \)

.

We nemen aan dat het elektrische veld E in de weerstand bij benadering uniform is. Ook gaan we ervan uit dat het elektrische veld buiten de weerstand in vergelijking met dat binnen de weerstand valt te verwaarlozen. Bekijken we nu de figuren 3 en 4 dan levert toepassing van de Wet van Gauss dat:

\( E \, . \, b.c = \frac{Q + Q'}{\varepsilon_0} \,\,\,\,\,\,\,\, (5) \)

.

Deze vorm van de Wet van Gauss geldt zowel in vacuüm als in een materiaal, zolang er maar met de som van alle aanwezige ladingen (vrij en gebonden) gerekend wordt. Formule 5 laat zich ook schrijven als:

\( Q + Q' = \varepsilon_0 . E \, . \, b.c \)

\( Q = \varepsilon_0 . E \, . \, b.c \, - \, Q' \,\,\,\,\,\,\,\, (6) \)

.

Invullen van formule 4 in formule 6 geeft:

\( Q = \varepsilon_0 . E \, . \, b.c \, - \, \left ( - \, \alpha \, . \, \frac{b . c}{d^2 . e} \, . \, E \right ) \)

\( Q = \varepsilon_0 . E \, . \, b.c \, + \, \alpha \, . \, \frac{b . c}{d^2 . e} \, . \, E \)

\( Q = \left ( \varepsilon_0 \, + \, \frac{\alpha}{d^2 . e} \right ) . \, b.c \, .\, E \)

\( Q = \varepsilon_0 \, . \left ( 1 \, + \, \frac{\alpha}{d^2 e . \varepsilon_0 } \right ) . \, b.c \, .\, E \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)

Verder geldt op basis van figuren 3 en 4 dat:

\( E = \frac{U}{a} \,\,\,\,\,\,\,\, (8) \)

.

Zodat:

\( Q \, = \, \varepsilon_0 \, . \left ( 1 \, + \, \frac{\alpha}{d^2 e . \varepsilon_0 } \right ) . \, b.c \, .\, \frac{U}{a} \)

\( \frac{Q}{U} \, = \, \varepsilon_0 \, . \left ( 1 \, + \, \frac{\alpha}{d^2 e . \varepsilon_0 } \right ) . \, \frac{b.c}{a} \,\,\,\,\,\,\,\, (9) \)

.

De weerstand uit dit model gedraagt zich dus - behalve als weerstand - ook als een condensator met relatieve permittiviteit:

\( \varepsilon_r \, = \, 1 \, + \, \frac{\alpha}{ d^2 e . \varepsilon_0 } \,\,\,\,\,\,\,\, (10) \)

Bartjes

Voor de weerstandsbepaling gebruiken we een sterk vereenvoudigd Drude-model. We gaan uit van gelijkspanningen en -stromen en van een constante temperatuur. De vrije elektronen in de weerstand bewegen in willekeurige richtingen door het materiaal. Voor het gemak nemen we aan dat alle vrije elektronen met de zelfde tussenperiode

\( 2 \tau \)

op de materiaaldeeltjes in de weerstand botsen. (Bekijken we de vrije elektronen in de weerstand op een willekeurig tijdstip dan hebben ze gemiddeld nog een tijd

\( \tau \)

te gaan tot hun volgende botsing met een deeltje van het weerstandsmateriaal.) De tijdsduur

\( \tau \)

mogen we voor een gegeven materiaal en temperatuur als onafhankelijk van het elektrische veld E rekenen omdat het weerstandsmateriaal afgezien van het buitenoppervlak en de aansluitvlakken netto elektrisch neutraal is, omdat we de afmetingen van de materiaaldeeltjes in ons model constant hebben verondersteld en omdat de thermische snelheid van de vrije elektronen véél groter is dan de daarop gesuperponeerde driftsnelheid v als gevolg van het elektrische veld E. Na iedere botsing van een vrij elektron met een materiaaldeeltje in de weerstand raakt het elektron zijn opgebouwde driftsnelheid weer kwijt en beweegt het in een willekeurig richting verder.

Op de vrije elektronen (met lading q_e) werkt een kracht:

\( F = q_e . E \,\,\,\,\,\,\,\, (11) \)

.

Het elektron krijgt tussen twee botsingen dus de driftversnelling:

\( a_d = \frac{F}{m_e} \)

\( a_d = \frac{q_e . E}{m_e} \)

\( a_d = \frac{q_e}{m_e} . E \,\,\,\,\,\,\,\, (12) \)

.

Zodat we voor de maximale driftsnelheid v_max vinden:

\( v_{max} = a_d \, . \, 2 \tau \)

\( v_{max} = \frac{q_e}{m_e} . E \, . \, 2 \tau \)

\( v_{max} = \frac{2 q_e \tau}{m_e} . E \,\,\,\,\,\,\,\, (13) \)

.

Bij iedere botsing gaat de reeds opgebouwde driftsnelheid weer verloren. Aangezien er sprake is van een lineaire versnelling is de gemiddelde driftsnelheid v_gem dan de helft van de maximale driftsnelheid:

\( v_{gem} = \frac{1}{2} . v_{max} \)

\( v_{gem} = \frac{1}{2} . \frac{2 q_e \tau}{m_e} . E \)

\( v_{gem} = \frac{q_e \tau}{m_e} . E \,\,\,\,\,\,\,\, (14) \)

.

Laat n_e de dichtheid van vrije elektronen in het materiaal zijn. Dan schuiven er gedurende een periode

\( \tau \)

een aantal N_e vrije elektronen aan de ene kant de weerstand in en aan de andere kant de weerstand uit. Volgens figuur 4 hebben we dan:

\( N_e = n_e \, . (v_{gem} . \tau) . b . c \)

\( N_e = n_e \, . \left ( \frac{q_e \tau}{m_e} . E \, . \, \tau \right ) . b . c \)

\( N_e = \frac{n_e . q_e . \tau^2}{m_e} . b . c . E \,\,\,\,\,\,\,\, (15) \)

.

De hoeveelheid lading Q_e die er gedurende een periode

\( \tau \)

aan de ene kant de weerstand in en aan de andere kant de weerstand uitvloeit is dan:

\( Q_e = N_e . q_e \)

\( Q_e = \left ( \frac{n_e . q_e . \tau^2}{m_e} . b . c . E \right ) . q_e \)

\( Q_e = \frac{n_e . q_e^2 . \tau^2}{m_e} . b . c . E \,\,\,\,\,\,\,\, (16) \)

.

Laat I de gelijkstroom door de weerstand zijn. Dan krijgen we:

\( I = \frac{Q_e}{\tau} \)

\( I = \frac{n_e . q_e^2 . \tau}{m_e} . b . c . E \)

.

\( I = \frac{n_e . q_e^2 . \tau}{m_e} . b . c . \frac{U}{a} \)

\( I = \frac{n_e . q_e^2 . \tau}{m_e} . \frac{b . c}{a} . U \)

\( \frac{I}{U} = \frac{n_e . q_e^2 . \tau}{m_e} . \frac{b . c}{a} \)

\( \frac{U}{I} = \frac{m_e}{n_e . q_e^2 . \tau} . \frac{a}{b . c} \,\,\,\,\,\,\,\, (17) \)

.

Met andere woorden: de weerstand uit dit model gedraagt zich - behalve als condensator - ook als weerstand met soortelijke weerstand:

\( \rho = \frac{m_e}{n_e . q_e^2 . \tau} \,\,\,\,\,\,\,\, (18) \)

.

De mate van polariseerbaarheid van het weerstandsmateriaal heeft - in het huidige model - dus geen effect op de soortelijke (gelijkstroom)weerstand van dat materiaal. Het gebruik van polariseerbaar weerstandsmateriaal leidt enkel tot extra gebonden ladingsopbouw in de weerstand die door extra vrije ladingsopbouw wordt gecompenseerd zodat er in de gelijkstroomsituatie voor de gemeten weerstand niets verandert.

Bartjes

Opmerking:

Mijn formule 18 en de formule in onderstaande Wikipedia-artikel komen overeen:

http://en.wikipedia....iki/Drude_model

Maar bij mij staat

\( \tau \)

voor de helft van de tijd tussen twee botsingen van de vrije elektronen met de materiedeeltjes in de weerstand en in Wikipedia staat

\( \tau \)

voor (het gemiddelde van) de gehele tijd tussen twee botsingen.

Wie heeft er gelijk?

Bartjes

Voor zéér sterk polariseerbaar weerstandsmateriaal zal het elektrische veld E' in het grensgebied tussen weerstandslichaam en aansluitplaten sterk toenemen, dit ten koste van het elektrische veld E in het verder netto neutrale weerstandslichaam. We mogen in dat geval het bedoelde grensgebied niet langer als oneindig dun beschouwen. Zie onderstaande plaatje:

: simpel-model-3.JPG (15.32 KiB) 972 keer bekeken

Bartjes

Uit het plaatje van mijn vorige bericht zijn inderdaad nog weer nieuwe formules af te leiden; daaruit zien we dan dat er een correctie moet worden aangebracht voor het enigszins uiteen liggen van Q en Q'. Met de oorspronkelijke bedoeling van dit topic heeft dat resultaat echter weinig meer te maken. Daarom stop ik er maar mee. Wat er over het elektrische veld van geleiders te vinden is, zal de lezer via de reeds gegeven links ook wel kunnen opsporen.

jkien

jkien schreef: ↑vr 08 feb 2013, 18:16
Het E-veld is uniform binnen de weerstand, en nul buiten de weerstand. Alle elektronen bewegen zuiver axiaal, en ze volgen precies het E-veld, dus de veldlijnen buigen niet af bij het grensvlak. Het grensvlak moet dus een uniforme oppervlaktelading σ hebben, want het is de source (of sink) van het uniforme E-veld.

De berekening is dan: Wet van Gauss E = σ / ε = Q /(A ε) en C = Q / U = Q / (E d) = A ε / d.

Tot op dit moment hield ik er rekening mee dat die uniforme oppervlaktelading σ op het grensvlak van de weerstand een misverstand was, wellicht een misplaatst gebruik van de Wet van Gauss, omdat ik in boeken en op internet geen bevestiging vond, behalve het door Bartjes genoemde artikel van Müller. Maar in deze course notes van de MIT-cursus Introduction To Electricity and Magnetism staat dezelfde berekening, en de begeleidende tekst zegt dat die oppervlaktelading bestaat. Eerst benoemd als "(6.4.2) charge at a junction", Q = ε I ρ (waarbij I de stroom is en ρ de soortelijke weerstand), en later als "(6.6.6) charge accumulation at the interface", σ = ε U / d. Die formules volgen uit de Wet van Gauss en ze stemmen overeen met mijn berekening in het bovenstaande citaat.

In de course notes is de oppervlaktelading op het grensvlak een gevolg van stroom en weerstand, er is geen sprake van enige polarisatie van het materiaal. De permittiviteit van de geleider wordt (zonder toelichting) gelijk gesteld aan die van het vacuum, ε₀.

Bartjes

jkien schreef: ↑zo 24 feb 2013, 03:18
Tot op dit moment hield ik er rekening mee dat die uniforme oppervlaktelading σ op het grensvlak van de weerstand een misverstand was, wellicht een misplaatst gebruik van de Wet van Gauss, omdat ik in boeken en op internet geen bevestiging vond, behalve het door Bartjes genoemde artikel van Müller.

Müller schrijft dat Jefimenko tot een zelfde resultaat komt.

jkien schreef: ↑zo 24 feb 2013, 03:18
In de course notes is de oppervlaktelading op het grensvlak een gevolg van stroom en weerstand, er is geen sprake van enige polarisatie van het materiaal. De permittiviteit van de geleider wordt (zonder toelichting) gelijk gesteld aan die van het vacuum, ε₀.

Het is geen probleem wanneer je de microscopische versie van de Wet van Gauss (die met ε₀) in een meer of minder polariserend materiaal gebruikt; het enige waar je dan op moet letten dat je de som van alle ladingen (vrij en gebonden) gebruikt. Zolang de polarisatie van het materiaal niet al te sterk is heb je als netto resultaat alleen wat extra gebonden (in plaats van vrije) oppervlaktelading aan de grensvlakken, de polarisatieladingen van de materiaaldeeltjes binnen in een zelfde materiaal heffen elkaar dan nagenoeg op. Zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell's_equations#.22Microscopic.22_versus_.22macroscopic.22

Bartjes

Bartjes schreef: ↑vr 08 feb 2013, 21:26
Het is ook lastig voorstelbaar waarom er 'oppervlaktelading' op het grensvlak van geleider en weerstand zou blijven zitten, in plaats van weg te vloeien.

Hoewel ik er inmiddels van overtuigd ben dat die grensvlaklading bestaat, blijf ik het moeilijk voorstelbaar vinden dat die lading daar blijft zitten (afgezien dan van eventuele polarisatieladingen). Het meest aannemelijk lijkt het mij dat er bij het grensvlak een soort van "plaatselijke filevorming" van vrije ladingsdragers optreedt. In dat geval zit die lading daar niet vast, maar heb je een plaatselijke verdichting of verdunning van passerende vrije ladingsdragers.

jkien

Bartjes schreef: ↑ma 25 feb 2013, 16:16
Hoewel ik er inmiddels van overtuigd ben dat die grensvlaklading bestaat, blijf ik het moeilijk voorstelbaar vinden dat die lading daar blijft zitten (afgezien dan van eventuele polarisatieladingen). Het meest aannemelijk lijkt het mij dat er bij het grensvlak een soort van "plaatselijke filevorming" van vrije ladingsdragers optreedt. In dat geval zit die lading daar niet vast, maar heb je een plaatselijke verdichting of verdunning van passerende vrije ladingsdragers.

Aan zoiets als filevorming heb ik aanvankelijk ook gedacht. Maar de waarde van de oppervlaktelading op een grensvlak van een weerstand is σ = ε U / d, onafhankelijk van de weerstand. Dat een hoge of lage weerstand niet uitmaakt vind ik niet passen bij filevorming.

Wiskundig is de lading op de grensvlakken van de weerstand hetzelfde als de lading op de platen van een condensator, namelijk een simpele toepassing van de wet van Gauss. De vraag waarom de uniforme σ bij een weerstand niet naar de buitenrand verschuift is dus hetzelfde als de vraag waarom dat niet gebeurt bij een condensator.

Als de potentiaal in de verte nul is, en die van de batterijpolen ± ½ U, dan is een uniforme oppervlaktelading op beide condensatorplaten gunstiger dan een concentratie op hun buitenranden.

Bartjes

jkien schreef: ↑ma 25 feb 2013, 21:02
Aan zoiets als filevorming heb ik aanvankelijk ook gedacht. Maar de waarde van de oppervlaktelading op een grensvlak van een weerstand is σ = ε U / d, onafhankelijk van de weerstand. Dat een hoge of lage weerstand niet uitmaakt vind ik niet passen bij filevorming.

Als er inderdaad "filevorming" optreedt, zal dat niet in een grensvlak met dikte nul kunnen gebeuren. Daarom moeten we er vanuit gaan dat het grensvlak waarin de ladingsopbouw plaats vindt in werkelijkheid een plakje met een eindige dikte is.

jkien

Als er inderdaad "filevorming" optreedt, zal dat niet in een grensvlak met dikte nul kunnen gebeuren. Daarom moeten we er vanuit gaan dat het grensvlak waarin de ladingsopbouw plaats vindt in werkelijkheid een plakje met een eindige dikte is.

Niet "we". De oppervlaktelading σ blijft hetzelfde als de weerstand oneindig wordt en de stroom nul. Als de stroom nul is dan is er geen filevorming (tenzij je het woord file een betekenis geeft die volgens mij niets met files te maken heeft).

Bartjes

Met het geval van een ideale condensator heb ik geen moeite. De oppervlaktelading kan dan niet eens verder stromen. Bij het grensvlak tussen twee geleiders met verschillende soortelijke weerstand heb je een ander geval: op de vrije ladingen aan het grensvlak werkt dan het elektrische veld in de geleiders. Hoe zouden die ladingsdragers volgens jou geen driftsnelheid kunnen hebben?

Volgens mij moeten ook de vrije ladingsdragers bij het grensvlak een driftsnelheid hebben, en de enige manier waarop ik mij dan nog zoiets als ladingsopbouw bij het grensvlak kan voorstellen is door "filevorming" in de buurt van het grensvlak. Ik heb ook al een idee hoe je dat moet uitrekenen, maar dat moet ik nog netjes uitwerken.

Bartjes

Eerst een tekening van de te beschouwen situatie:

: elektrische-filevorming.JPG (36.39 KiB) 978 keer bekeken

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand

Re: E-veld bij een weerstand