Opeenvolgende/gelijke machten

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 620

Opeenvolgende/gelijke machten

Hoi allemaal

Is er een term voor (een van de) 2 getallen, waarvan getal A grondtal x en exponent y heeft, en B grondtal y en exponent x, gelijk zijn?
\(x^y=y^x\)
(vb.
\(2^4=4^2\)
)

Of dat de machten opeenvolgend zijn?
\(x^y=y^x-1\)
(vb.
\(2^3=3^2-1\)
)

Bedankt!

(Als er nog zo voorbeelden zijn, mag je ze best zeggen :P )

-S.

als je 't ver gaat zoeken heb je ook
\(x^y=y^{x-y}\)
(vb.
\(8^2=2^{8-2}\)
en
\(9^3=3^{9-3}\)
)
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein

Berichten: 56

Re: Opeenvolgende/gelijke machten

Ik weet in ieder geval wel dat
\(x^y=y^x\)
alleen geldt voor 2 en 4. Het bewijs daarvoor heb ik zo even niet, maar dat is het enige koppel waarvoor het geldt.

Berichten: 620

Re: Opeenvolgende/gelijke machten

wat jammer :(
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Opeenvolgende/gelijke machten

Beroemdheid schreef: zo 10 feb 2013, 12:46
Ik weet in ieder geval wel dat
\(x^y=y^x\)
alleen geldt voor 2 en 4. Het bewijs daarvoor heb ik zo even niet
Bedenk eens dat 4 = 2∙2, dus 24 = 22∙2 = (2²)² = 4².

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 620

Re: Opeenvolgende/gelijke machten

mathfreak schreef: zo 10 feb 2013, 16:25
Bedenk eens dat 4 = 2∙2, dus 24 = 22∙2 = (2²)² = 4².
ja, leuk gevonden zou ik zo zeggen; maar wie zou er op dit in vredesnaam komen? (nu ja, de eerste dan)
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Opeenvolgende/gelijke machten

Stekelbaarske schreef: zo 10 feb 2013, 17:15
ja, leuk gevonden zou ik zo zeggen; maar wie zou er op dit in vredesnaam komen? (nu ja, de eerste dan)
Ga na dat dit bewijs berust op de eigenschap dat (am)n = am∙n. Meer zit er niet achter.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 620

Re: Opeenvolgende/gelijke machten

ja, dat begrijp ik...
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Opeenvolgende/gelijke machten

Er zijn oneindig veel van dat soort paren x,y zodat
\(x^y=y^x\)
, alleen 2 en 4 is het enige paar gehele getallen met deze eigenschap.

Zie ook dit oude topic over hetzelfde onderwerp (helaas zijn sommige posts indertijd wat misvormd geraakt door conversies bij updates en verandering van forumsoftware, waardoor er hier en daar wat haakjes en dingen abusievelijk zijn vervangen door smileys..)

Als je de grafiek tekent van
\(f_y(x)=x^y-y^x\)
(waarbij je y in dit geval even als constante interpreteert) zie je zo al dat voor de meeste waarden van y, deze functie twee nulpunten heeft: (uiteraard eentje bij x=y, maar ook nog voor een andere x)

[graph=0,4,-3,3]'pow(x,3)-pow(3,x)','pow(x,5)-pow(5,x)','pow(x,6)-pow(6,x)'[/graph]
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Opeenvolgende/gelijke machten

Beroemdheid schreef: zo 10 feb 2013, 12:46
Ik weet in ieder geval wel dat
\(x^y=y^x\)
alleen geldt voor 2 en 4. Het bewijs daarvoor heb ik zo even niet, maar dat is het enige koppel waarvoor het geldt.
x=y>0

Martin Gardner heeft het eens behandeld in Scientific American, (Mathimatical Games) als ik me goed herinner.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Reageer