Springen naar inhoud

Bewijs propositie: doorsnede deelruimten



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 februari 2013 - 20:18

"De doorsnede van een willekeurige familie van deelruimten U van een vectorruimte (R, V, +) is nog steeds een deelruimte van V."

Ik zou dit graag aantonen; iemand een idee hoe hieraan te beginnen ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 februari 2013 - 22:36

Probeer het eerst eens voor de doorsnede van 2 aan te tonen. Dus: zij V en W (deel)vectorruimten. Toon aan dat V doorsnede W dat ook is. Het idee hier is niet zo moeilijk: buit simpelweg uit dat wat V doorsnede W zit én in V én in W zit (en dat beiden een vectorruimte zijn).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2013 - 08:01

Dus:

We kiezen 2 willekeurige (deel)vectorruimten V en W van dezelfde familie. We weten dat voor zowel V als W geldt dat:

∀ x,y ∈ R, ∀ v,w ∈ U: x.v + y.w ∈ U

Beschouw nu twee willekeurige elementen uit de doorsnede van V en W, noem deze elementen d en g. We weten dat voor d en g geldt dat:

1)
De nulvector zit zowel in V als in W (aangezien (deel)vectorruimten altijd de nulvector bevatten),
en dus ook in V ∩ W.

2)
∀ x,y ∈ R: x.d + y.g ∈ V
∀ x,y ∈ R: x.d + y.g ∈ W

Wat equivalent is met ∀ x,y ∈ R,∀ d,g ∈ V ∩ W: x.d + y.g ∈ V ∩ W

conclusie:
Aangezien 'V ∩ W' aan zowel eigenschap (1) en (2) voldoet, is het een (deel)vectorruimte.

Ik denk dat het hiermee wel is aangetoond voor een doorsnede van 2 willekeurige (deel)vectorruimten, maar hoe breidt men dit uit naar meerdere (deel)vectorruimten ? :D
Gewoon door te stellen dat:
We kunnen nu V ∩ W opnieuw als een vectorruimte beschouwen, noem deze Z, en hetzelfde doen voor de doorsnede van Z met een andere willekeurige (deel)vectorruimte. Dit proces kan men iteratief oneindig herhalen waardoor bewezen is dat de doorsnede van een willekeurig aantal (deel)vectorruimten opnieuw een (deel)vectorruimte is.

Klopt het zo ? :P

Veranderd door Biesmansss, 13 februari 2013 - 08:15

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 februari 2013 - 10:10

Het idee is inderdaad zo. Wat correcter: Zij {Wi} een familie van vectorruimten. We willen nu bewijzen dat de doorsnede ook een vectorruimte is. Zij w1, w2 in de doorsnede, dan willen we dat aw1 + bw2 er ook in zit. Daar w1 en w2 voor alle i ook in Wi zit, weten we dat aw1 + bw2 ook in Wi zit (want Wi is een vectorruimte). Per definitie van doorsnede weten we dan dat...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2013 - 16:11

Per definitie van doorsneden weten we dan dat aw1 + bw2 opnieuw in de doorsnede zit.
Dit samen met het feit dat de nulvector in de doorsnede zit, alle (deel)vectorruimten bevatten nl. de nulvector, stelt ons in staat om te concluderen dat de doorsnede een deelvectorruimte is.

Zo is het wel in zijn meest algemene vorm aangetoond, niet ?
Via de eerste methode (hierboven) lukt het ook perfect, toch ? Eerst het aantonen voor twee (deel)vectorruimten en dan stellen dat we dat een (eindig) maal kunnen herhalen.
Er staan indderdaad wel wat notationele fouten in mijn tekst hierboven. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 februari 2013 - 16:17

Dat eerste lukt zeker ook ja. Dat is eigenlijk een "verdoken" inductie-argument (mocht je daarmee bekend zijn).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2013 - 16:25

Ja, ik heb al wel eens met inductie gewerkt (niet veel en al wel een tijdje geleden).
Hartelijk dank voor de hulp Dries! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures