Ik zou dit graag aantonen; iemand een idee hoe hieraan te beginnen ?
Laatste berichten
-
15:53
positie
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
11:32
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 6
-
11:31
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 14
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Weerfrustratie 5
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] Bewijs propositie: doorsnede deelruimten
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.201
Bewijs propositie: doorsnede deelruimten
"De doorsnede van een willekeurige familie van deelruimten U van een vectorruimte (R, V, +) is nog steeds een deelruimte van V."
Ik zou dit graag aantonen; iemand een idee hoe hieraan te beginnen ?
Ik zou dit graag aantonen; iemand een idee hoe hieraan te beginnen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs propositie: doorsnede deelruimten
Probeer het eerst eens voor de doorsnede van 2 aan te tonen. Dus: zij V en W (deel)vectorruimten. Toon aan dat V doorsnede W dat ook is. Het idee hier is niet zo moeilijk: buit simpelweg uit dat wat V doorsnede W zit én in V én in W zit (en dat beiden een vectorruimte zijn).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs propositie: doorsnede deelruimten
Dus:
We kiezen 2 willekeurige (deel)vectorruimten V en W van dezelfde familie. We weten dat voor zowel V als W geldt dat:
∀ x,y ∈ R, ∀ v,w ∈ U: x.v + y.w ∈ U
Beschouw nu twee willekeurige elementen uit de doorsnede van V en W, noem deze elementen d en g. We weten dat voor d en g geldt dat:
1)
De nulvector zit zowel in V als in W (aangezien (deel)vectorruimten altijd de nulvector bevatten),
en dus ook in V ∩ W.
2)
∀ x,y ∈ R: x.d + y.g ∈ V
∀ x,y ∈ R: x.d + y.g ∈ W
Wat equivalent is met ∀ x,y ∈ R,∀ d,g ∈ V ∩ W: x.d + y.g ∈ V ∩ W
conclusie:
Aangezien 'V ∩ W' aan zowel eigenschap (1) en (2) voldoet, is het een (deel)vectorruimte.
Ik denk dat het hiermee wel is aangetoond voor een doorsnede van 2 willekeurige (deel)vectorruimten, maar hoe breidt men dit uit naar meerdere (deel)vectorruimten ?
Gewoon door te stellen dat:
We kunnen nu V ∩ W opnieuw als een vectorruimte beschouwen, noem deze Z, en hetzelfde doen voor de doorsnede van Z met een andere willekeurige (deel)vectorruimte. Dit proces kan men iteratief oneindig herhalen waardoor bewezen is dat de doorsnede van een willekeurig aantal (deel)vectorruimten opnieuw een (deel)vectorruimte is.
Klopt het zo ?
We kiezen 2 willekeurige (deel)vectorruimten V en W van dezelfde familie. We weten dat voor zowel V als W geldt dat:
∀ x,y ∈ R, ∀ v,w ∈ U: x.v + y.w ∈ U
Beschouw nu twee willekeurige elementen uit de doorsnede van V en W, noem deze elementen d en g. We weten dat voor d en g geldt dat:
1)
De nulvector zit zowel in V als in W (aangezien (deel)vectorruimten altijd de nulvector bevatten),
en dus ook in V ∩ W.
2)
∀ x,y ∈ R: x.d + y.g ∈ V
∀ x,y ∈ R: x.d + y.g ∈ W
Wat equivalent is met ∀ x,y ∈ R,∀ d,g ∈ V ∩ W: x.d + y.g ∈ V ∩ W
conclusie:
Aangezien 'V ∩ W' aan zowel eigenschap (1) en (2) voldoet, is het een (deel)vectorruimte.
Ik denk dat het hiermee wel is aangetoond voor een doorsnede van 2 willekeurige (deel)vectorruimten, maar hoe breidt men dit uit naar meerdere (deel)vectorruimten ?
Gewoon door te stellen dat:
We kunnen nu V ∩ W opnieuw als een vectorruimte beschouwen, noem deze Z, en hetzelfde doen voor de doorsnede van Z met een andere willekeurige (deel)vectorruimte. Dit proces kan men iteratief oneindig herhalen waardoor bewezen is dat de doorsnede van een willekeurig aantal (deel)vectorruimten opnieuw een (deel)vectorruimte is.
Klopt het zo ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs propositie: doorsnede deelruimten
Het idee is inderdaad zo. Wat correcter: Zij {Wi} een familie van vectorruimten. We willen nu bewijzen dat de doorsnede ook een vectorruimte is. Zij w1, w2 in de doorsnede, dan willen we dat aw1 + bw2 er ook in zit. Daar w1 en w2 voor alle i ook in Wi zit, weten we dat aw1 + bw2 ook in Wi zit (want Wi is een vectorruimte). Per definitie van doorsnede weten we dan dat...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs propositie: doorsnede deelruimten
Per definitie van doorsneden weten we dan dat aw1 + bw2 opnieuw in de doorsnede zit.
Dit samen met het feit dat de nulvector in de doorsnede zit, alle (deel)vectorruimten bevatten nl. de nulvector, stelt ons in staat om te concluderen dat de doorsnede een deelvectorruimte is.
Zo is het wel in zijn meest algemene vorm aangetoond, niet ?
Via de eerste methode (hierboven) lukt het ook perfect, toch ? Eerst het aantonen voor twee (deel)vectorruimten en dan stellen dat we dat een (eindig) maal kunnen herhalen.
Er staan indderdaad wel wat notationele fouten in mijn tekst hierboven.
Dit samen met het feit dat de nulvector in de doorsnede zit, alle (deel)vectorruimten bevatten nl. de nulvector, stelt ons in staat om te concluderen dat de doorsnede een deelvectorruimte is.
Zo is het wel in zijn meest algemene vorm aangetoond, niet ?
Via de eerste methode (hierboven) lukt het ook perfect, toch ? Eerst het aantonen voor twee (deel)vectorruimten en dan stellen dat we dat een (eindig) maal kunnen herhalen.
Er staan indderdaad wel wat notationele fouten in mijn tekst hierboven.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs propositie: doorsnede deelruimten
Dat eerste lukt zeker ook ja. Dat is eigenlijk een "verdoken" inductie-argument (mocht je daarmee bekend zijn).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs propositie: doorsnede deelruimten
Ja, ik heb al wel eens met inductie gewerkt (niet veel en al wel een tijdje geleden).
Hartelijk dank voor de hulp Dries!
Hartelijk dank voor de hulp Dries!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
