[wiskunde] Deelverzameling C(R)

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 16-02-'13, 15:41

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Deelverzameling C(R)

"Is volgende deelverzameling van Coo(R ) lineair onafhankelijk ?

(a) {x |-> cos 2x, x |-> cos2 x, x |-> sin2x}"

We kunnen dit probleem benaderen door volgende eigenschap van onafhankelijke deelverzamelingen:

Wanneer een deelverzameling onafhankelijk is, is de enige lineaire combinatie die de nulvector oplevert deze wanneer alle coëfficiënten nul zijn.

Dus:

A.cos 2x + B.cos2 x + C.sin2x = 0

Wanneer de deelverzameling lineair onafhankelijk is, is dit makkelijk te onderzoeken:

Aangezien dit voor alle x ∈ R moet gelden, moet het ook gelden voor bv. x = π / 2. Hier Zo kan men dan enkele vergelijkingen vinden die enkel de nulvector opleveren bij A = B = C = 0 en kan men concluderen dat de verzameling lineair onafhankelijk is. Wanneer een verzameling echter lineair afhankelijk is (wat de bovenstaande trouwens is), kan men deze tactiek niet toepassen. Hoe lost men dit dan op ?

Het is toch niet voldoende om dan dit zeggen, kijk bij bv. x1 = 0 en x2 = π / 2 krijgen we dat dit ook nul is wanneer A = B. Want als dit voldoende was dan zou de deelverzameling

{x |-> sin x, x |-> sin 2x, x |-> sin 3x} ook lineair afhankelijk zijn, aangezien bij x = 0, krijgt:

A.0 + B.0 + C.0 = 0 en dit geldt bij alle A, B, C ∈ R.

Ik hoop dat je begrijpt waarmee ik in de knoop zit. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 16-02-'13, 23:40

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: Deelverzameling C(R)

Omdat je in de functieruimte zit, is het niet zo handig om te kijken naar welke waarden je in de functies kan invullen (dingen moeten namelijk voor alle x gelden). Je merkt inderdaad goed op dat een lineaire combinatie de nulfunctie moet geven alleen als alle coëfficienten 0 zijn, wil de verzameling onafhankelijk zijn.

Wat je kunt doen is de functies afleiden. Daarvoor moet die eis dan nog steeds gelden. Aangezien je oneindig kan blijven afleiden, krijg je een hoop vergelijkingen en daaruit kun je bepalen of er misschien toch een andere oplossing is, met niet alle coëfficienten op 0.

Zie hier voor wat meer informatie.

p.s. je vergelijkingen zijn overigens niet onafhankelijk. Zoals je in de link kan lezen hoef je maar twee keer af te leiden en daarna moet je de determinant bepalen.
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog

Bericht 17-02-'13, 10:10

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Deelverzameling C(R)

Goed, voor deze verzameling {x |-> cos 2x, x |-> cos2 x, x |-> sin2 x} krijgen we dan:

A.cos 2x + B.cos2 x + C.sin2x = 0

-2A.sin(2x) - 2B.sin(x).cos(x) + 2C.sin(x).cos(x)

nu is sin(2x) = sin(x).cos(x)

Dan krijgen we:

2.(C - A - B).sin(x).cos(x) = 0

Dit is ook nul wanneer C = A = B

M.a.w de verzameling is lineair afhankelijk

Ps. Wat als dit fenomeen pas op trad bij bv. de 10de afgeleide ? M.a.w hoe weet men hoeveel keer men moet afleiden voor functies van Coo ? :D

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Maar hoe lost men dit dan op voor bv. de verzameling {x |-> sin x, x |-> sin 2x, x |-> sin 3x} ?

Deze is wel lineair afhankelijk.

Hiervoor bekomt men:

A.sin x + B.sin 2x + C.sin 3x = 0

-A.cos x - 2B.cos 2x - 3C.cos 3x = 0

...

Zo geraakt men er hier toch niet uit ? Dit moet men dan wel weer oplossen door naar bijzondere waarden voor x te kijken ? Hoe weet men dan net wanneer men welke tactiek moet gebruiken ? :)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 17-02-'13, 10:18

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: Deelverzameling C(R)

Ps. Wat als dit fenomeen pas op trad bij bv. de 10de afgeleide ? M.a.w hoe weet men hoeveel keer men moet afleiden voor functies van Coo


Je moet zo vaak afleiden als dat je losse elementen hebt. Dus in dit geval moet je gewoon drie keer afleiden. Als je dan geen systeem ziet, is het het makkelijkst om de Wronskian uit te rekenen. In het linkje staat wat dat is, waarom dat werkt en hoe je dan kan zien of het systeem onafhankelijk is.
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog

Bericht 17-02-'13, 10:28

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Deelverzameling C(R)

In dit concreet geval helpt "goede" kennis van je goniometrische formules je enorm: cos(2x) = cos²(x) - sin²(x). Je krijgt dus meteen je concrete A, B, C.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 17-02-'13, 10:33

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Deelverzameling C(R)

Ja, maar wat in het algemene geval ? Want dat zal niet altijd werken ? :P

De gegeven link is mij ook nog niet helemaal duidelijk. De wronksiaan ken ik wel en het concept van det al dan niet gelijk aan 0 is mij ook duidelijk.

Kan men het nu altijd oplossen door evenveel af te leiden als er elementen zijn ?

En wat als men dan bv. met rijen (n)n ∈ N werkt ? Afleiden heeft hier geen zin, dan moet men wel gaan kijken naar specifieke waarden voor n ? En dan kom ik terug uit bij mijn oorspronkelijke vraag. :s
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 17-02-'13, 10:40

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: Deelverzameling C(R)

Kan men het nu altijd oplossen door evenveel af te leiden als er elementen zijn ?
Ja, als je ruimte dat toelaat (
\(C^\infty\)
doet dat uiteraard).

Je moet nooit kijken naar specifieke waarden, omdat onafhankelijkheid moet gelden voor de hele functie of rij, dus voor iedere x. Bijvoorbeeld a=sin(x) en b=2sin(x) zijn afhankelijk, omdat 2*a = b voor iedere x.

Voor rijen moet je dus iets anders verzinnen, als het niet meteen zichtbaar is of ze onafhankelijk zijn. Misschien kun je dan herhalende patronen vinden, of iets dergelijks.
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog

Bericht 17-02-'13, 11:13

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Deelverzameling C(R)

Ok, ik denk dat het nu wel duidelijk is.

Bedankt beiden! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 17-02-'13, 12:00

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Deelverzameling C(R)

Het concept van wronksiaan lukt mij niet bij {x |-> cos 2x, x |-> cos2 x, x |-> sin2x}.

Dit geeft:

A.cos 2x + B.cos2 x + C.sin2 x = 0

-2A.sin 2x - 2B.sin x. cos x + 2C.sin x.cos x = 0

-4A.ccos 2x - 2B.(cos2 x - sin2 x) + 2C.(cos2 x - sin2 x) = 0

Dus:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 &1 \\ -2 & -2 & 2 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} \)
Det = -8

Dus deze verzameling zou de unieke oplossing A = B = C = 0 hebben. Maar aangezien ik weet dat de verzameling lineair afhankelijk is, zou de det gelijk moeten zijn aan 0.

Ziet iemand mijn fout ? Of kan iemand zeggen wat ik fout doe ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 17-02-'13, 12:06

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: Deelverzameling C(R)

In je Wronskiaan moeten functies staan. Het lijkt erop alsof jij ze evalueert. Een voorbeeld met
\(\{sin(x), 2\sin(x)\}\)
:
\(
\begin{vmatrix} \sin(x) & 2\sin(x) \\ \cos(x) & 2\cos(x)\end{vmatrix} = 2\sin(x) \cos(x) - 2 \ sin(x) \cos(x) = 0
\)
De determinant is 0, dus ze zijn afhankelijk.
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog

Bericht 17-02-'13, 13:40

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Deelverzameling C(R)

Revelation schreef: ↑zo 17 feb 2013, 12:06
In je Wronskiaan moeten functies staan. Het lijkt erop alsof jij ze evalueert. Een voorbeeld met
\(\{sin(x), 2\sin(x)\}\)
:
\(
\begin{vmatrix} \sin(x) & 2\sin(x) \\ \cos(x) & 2\cos(x)\end{vmatrix} = 2\sin(x) \cos(x) - 2 \ sin(x) \cos(x) = 0
\)
De determinant is 0, dus ze zijn afhankelijk.
Hoe zou u mijn voorbeeld dan oplossen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 17-02-'13, 17:05

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: Deelverzameling C(R)

Dat doe je zo:
\(\begin{vmatrix}

\cos(2x) & \cos(x)^2 & \sin(x)^2 \\

-2\sin(2x) & -2\cos(x)\sin(x) & 2\cos(x)\sin(x) \\

-4\cos(2x) & 2 \sin(x)^2 -2\cos(x)^2 & 2\cos(x)^2 - 2 \sin(x)^2

\end{vmatrix} = 0
\)
Als je kijkt naar de 2x2 subblokjes zie je al dat 0 de waarschijnlijke oplossing is.
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”