Springen naar inhoud

Lineaire afbeelding tussen vectorruimten



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2013 - 11:11

"Zij L: V -> een lineaire afbeelding tussen vectorruimten (R, V, +) en (R, W, +). Veronderstel dat {e1, e2, ..., en} een vrij deel is van V.

(a) Toon aan dat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel is van W als L injectief is.

(b) Illustreer met een expliciet voorbeeld dat injectiviteit van L essentieel is opdat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel zou zijn."


Ik heb het gevoel dat er aan mijn bewijs i.v.m. (a) nog iets niet klopt, zou iemand dit eens wille bekijken ? Of is er een betere manier ?

a) Gegeven het feit dat {e1, e2, ..., en} vrij is, weten we dat:

A1.e1 + A2.e2 + ... + An.en = 0 Als en slechts als A1, A2, ..., An = 0.

Nu is:

L(A1.e1 + A2.e2 + ... + An.en) = A1.L(e1) + A2.L(e2) + ... + An.L(en) = L(0)

Dus:
A1.L(e1) + A2.L(e2) + ... + An.L(en) = L(0.e1 + 0.e2 + ... + 0.en)
A1.L(e1) + A2.L(e2) + ... + An.L(en) = 0.L(e1) + 0.L(e2) + ... + 0.L(en) = 0

Gezien de injectiviteit van L komt elke vector in W overeen met precies één vector uit V. In het bijzonder is de enige vector uit v die de nulvector oplevert deze van het vrije deel waarbij alle coëfficiënten 0 zijn

Veranderd door Biesmansss, 23 februari 2013 - 11:12

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 februari 2013 - 11:26

Je kan het veel beter verwoorden: stel dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0. We weten dat L lineair is, dus dit is equivalent met zeggen dat L(B1 e1 + ... + Bn en) = 0. Daar nu L injectief is, betekent dit dan weer dat B1 e1 + ... + Bn en = 0. Nu kun je je gegeven gebruiken.

Heb je inspiratie voor b)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2013 - 11:36

Euhm, ik ben met uw verwoording nog ergens niet mee.
Waarom betekent nu die injectiviteit (zoals u het zegt) dat "Daar nu L injectief is, betekent dit dan weer dat B1 e1 + ... + Bn en = 0." ?
En moeten we het niet in de omgekeerde richting bewijzen ?

Ik kom zo terug op (b). :)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 februari 2013 - 11:40

Een mooie oefening is: toon aan dat een lineaire afbeelding injectief is als en slechts als ker L = {0}. En het is zeker niet de andere richting: ik neem de injectiviteit van L en bewijs dan dat je deel vrij is. Dat is ook de opgave.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2013 - 12:09

Eerst die oefening dan maar ? :D
Kies een willekeurige v ∈ Ker L.
Dan weten we dat L(v) = 0, maar we weten ook dat L(0) = 0 wegens de lineairiteit van L. Dus hebben v en 0 hetzelfde beeld in L. Omdat L injectief is moet v = 0, m.a.w. Ker L = {0}.

Dus:

stel dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0. We weten dat L lineair is, dus dit is equivalent met zeggen dat L(B1 e1 + ... + Bn en) = 0. Daar nu L injectief is, betekent dit dan weer dat B1 e1 + ... + Bn en = 0.
Dit kan enkel wanneer B1, B2, ..., Bn = 0. Waaruit volgt dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0 als en slechts als B1, B2, ..., Bn = 0, of m.a.w. dat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel is.

Veranderd door Biesmansss, 23 februari 2013 - 12:12

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 februari 2013 - 12:11

Dat is inderdaad het idee :). Begrijp je nu a)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2013 - 12:13

Dat is inderdaad het idee :). Begrijp je nu a)?


Ja ik had het er in mijn post hierboven nog bij gezet na je reactie.

stel dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0. We weten dat L lineair is, dus dit is equivalent met zeggen dat L(B1 e1 + ... + Bn en) = 0. Daar nu L injectief is, betekent dit dan weer dat B1 e1 + ... + Bn en = 0.
Dit kan enkel wanneer B1, B2, ..., Bn = 0. Waaruit volgt dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0 als en slechts als B1, B2, ..., Bn = 0, of m.a.w. dat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel is.


Zo zou het dan moeten kloppen ? :D

Veranderd door Biesmansss, 23 februari 2013 - 12:22

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 februari 2013 - 12:24

Dat klopt inderdaad :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2013 - 12:26

Danku Dries! :)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 februari 2013 - 12:47

En wat voor b)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2013 - 12:52

Als voor (b):

Beschouw L: R2 -> R: (x, y) |-> x + y

Deze is duidelijk niet injectief want:

L(1, 0) = 1
L(0, 1) = 1

Het is triviaal om in te zien dat {(1, 0), (0, 1)} een vrij deel is; evenals het triviaal is om in te zien dat {L(1, 0), L(0, 1)} = {1, 1} geen vrij deel is.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 februari 2013 - 14:44

Dat voorbeeld klopt uiteraard :). Er zijn er veel die je kunt kiezen. Hoofdzaak is uiteraard het niet-injectief zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2013 - 16:48

Ok, nogmaals hartelijk dank Dries! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures