Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 26-02-'13, 21:16

Kwintendr

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Hallo iedereen

Gegeven de functie
\(\frac{1}{1+ln(1+\frac{1}{x^2+y^2})}\)
. De vraag is om de limiet te berekenen in de probleempunten. Het probleempunt is hier (0,0) omdat je dan problemen krijgt in de noemer. Als je de grafiek plot krijg je dit:

De grafiek

Als volgt neem ik enkele paden en bereken in de limiet in (0,0):

voor y = k*x -> 0

voor y = k*x^2 -> 0

voor y = ln( x+1 ) -> 0

Ik vermoed dus dat de limiet bestaat en wil een epsilon - delta bewijs opstellen en dan loop ik vast. Bij eenvoudigere functies lukt het wel, maar bij deze weet ik niet hoe ik er aan moet beginnen.

Kan iemand me helpen?
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!
Omhoog

Bericht 26-02-'13, 22:12

Jaimy11

Gebruikersavatar
Berichten: 614

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Je kunt dit gewoon oplossen met de rekenregels voor limieten.
Omhoog

Bericht 27-02-'13, 08:07

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Met een transformatie naar poolcoordinaten wordt dit een simpele limiet.
Omhoog

Bericht 27-02-'13, 08:29

Kwintendr

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Het moet een epsilon delta bewijs zijn, gewoon oplossen met rekenregels van limieten mag dus niet
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!
Omhoog

Bericht 27-02-'13, 09:26

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Epsilon-delta-bewijs is niet zo moeilijk moeten als je maar eerst omzet naar poolcoordinaten.
Omhoog

Bericht 27-02-'13, 09:55

Kwintendr

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Is er geen andere methode want we hebben dat nog niet op die manier gedaan. Poolcoordinaten zitten trouwens nogal ver
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!
Omhoog

Bericht 27-02-'13, 10:02

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Poolcoordinaten:
\(x = r \cos(\theta)\)
\(y = r \sin(\theta)\)
dus:
\(\frac{1}{1+ln(1+\frac{1}{x^2+y^2})} = \frac{1}{1+ln(1+\frac{1}{(r \cos(\theta))^2+(r \sin(\theta))^2})} = \frac{1}{1+ln(1+\frac{1}{r^2})}\)
Hierdoor ga je van 2D naar 1D (vanwege de onafhankelijkheid van de hoek theta). Kun je hiermee verder?
Omhoog

Bericht 27-02-'13, 12:18

Jaimy11

Gebruikersavatar
Berichten: 614

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1}{1+\ln(1+\frac{1}{x^2+y^2})}=\frac{1}{1+\lim_{(x,y) \to (0,0)} \ln(1+\frac{1}{x^2+y^2})}\)


Laat
\(x_n \in \mathbb{R} \backslash \{(0,0)\}\)
en
\(y_n \in\mathbb{R} \backslash \{(0,0)\}\)
willekeurig sequences zijn zodat
\(x_n \to \infty\)
en
\(y_n \to \infty\)
als
\(n \to \infty\)

\(\lim_{n \to \infty} \ln(1+\frac{1}{x_n^2+y_n^2})\)

\(x_n \to \infty\)
en
\(y_n \to \infty\)
dus ook
\(x_n^2 \to \infty\)
en
\(y_n^2 \to \infty\)


Dus
\(\lim_{n \to \infty} \ln(1+\frac{1}{x_n^2+y_n^2})=\ln(1)=0\)


En daarom
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \ln(1+\frac{1}{x^2+y^2})}=0\)
En
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1}{1+\ln(1+\frac{1}{x^2+y^2})}=1\)
Omhoog

Bericht 27-02-'13, 12:26

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Laat
\(x_n \in \mathbb{R} \backslash \{(0,0)\}\)
en
\(y_n \in\mathbb{R} \backslash \{(0,0)\}\)
willekeurig sequences zijn zodat
\(x_n \to \infty\)
en
\(y_n \to \infty\)
als
\(n \to \infty\)
Wat heb je daaraan? Ze moeten toch naar nul als n naar oneindig gaat?
Omhoog

Bericht 27-02-'13, 12:32

Math-E-Mad-X

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Jaimy11 schreef: ↑wo 27 feb 2013, 12:18
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \ln(1+\frac{1}{x^2+y^2})}=0\)
Je kan zo zien dat dit niet klopt. als x en y heel klein zijn (dicht bij nul) dan is de noemer klein, dus de breuk is groot. En de ln van iets groots is ook weer iets groots. Kan dus nooit nul zijn.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Omhoog

Bericht 27-02-'13, 12:35

Jaimy11

Gebruikersavatar
Berichten: 614

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Oh, daarom ging het zo eenvoudig.

Dan heb je eigenlijk niets aan mijn post, excuus
Omhoog

Bericht 27-02-'13, 20:41

Kwintendr

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: Limiet in 0 van een functie met 2 variabelen

Ik heb het bewezen zoals EvilBro heeft gezegd. Omzetten naar poolcoordinaten. Het resultaat zit in de bijlage. Er staat een oefening boven die hier niets mee te maken heeft.

Je kan het ook doen op de manier zoals Jaimy11 zegt. x^2+y^2 wordt zeer klein met als gevolge dat de ln zeer groot wordt. Daaruit volgt dan weer dat de breuk naar 0 gaat. De prof zei dat dit perfect mocht. Ik dacht van niet dus daarom dat epsilon delta bewijs. Omdat ik het toch met epsilon delta had gedaan met poolcoordinaten heb ik het bewijs dan ook maar direct laten bekijken door de prof en die zei dat het een juist bewijs was.

Ik vond het nogal uit de lucht vallen met die poolcoordinaten, maar toevallig vandaag hebben we bij integreerbaarheid van functies met meerdere variabelen gezien dat je hier soms ook beter kan werken door om te vormen naar poolcoordinaten ( als je met schijven etc zit).

Bedankt dus :D !
Bijlagen
SCAN0024.JPG
SCAN0024.JPG (153.64 KiB) 821 keer bekeken
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”