Springen naar inhoud

[Wiskunde] Wortelvergelijking en oplossingsvoorwaarden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2005 - 14:20

Geachte mede-wiskundefans,

Stel dat ik volgende vergelijking moet oplossen:
:P x = x+5
Dit zou geen al te groot probleem vormen voor mij, maar toch mis ik enig begrip omtrent de fijnere subtiliteiten hiervan.

Als ik het juist voorheb mag ik dus altijd kwadrateren bij zulke opgave? Immers, a = b => a≤ = b≤. Dus :roll: x = x+5 => x = (x+5)≤.
Het is blijkbaar de pijl terug die het probleem vormt, hiervoor dient men dan de bestaans- en kwadrateringsvoorwaarden in te voeren.
Dus [x = (x+5)≤ EN bvw EN kvw] => x = x+5.

Mijn vraag is nu, moet ik hier eigenlijk wel rekening houden met de bestaansvoorwaarde: x >= 0? Het is toch duidelijk uit de vgl x = (x+5)≤ dat x positief is? Volgens mij ligt het probleem hier enkel onder de kwadratering. Klopt dat en kan dit veralgemeend worden naar gelijkaardige opgaven?

Mvg.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 december 2005 - 14:55

... x = x+5 ...

Wat bedoel je hier nu mee?

Ik zou hem zo oplossen:
:P x = x+5
x = x2 + 10x + 25
x2 + 9x + 25 = 0
{D = 81 - 4 . 1 . 25 = -19}

Conclusie: geen oplossing in :roll:

Oplossingen:
1.
Geplaatste afbeelding

2.
Geplaatste afbeelding
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 31 december 2005 - 15:31

Neem liever √x=x-5, de andere heeft geen opl.
Mijn vraag aan jou is, wat is de kwadrateringsvoorwaarde?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 december 2005 - 16:18

Als ik het juist voorheb mag ik dus altijd kwadrateren bij zulke opgave? Immers, a = b => a≤ = b≤. Dus :D x = x+5 => x = (x+5)≤.
Het is blijkbaar de pijl terug die het probleem vormt, hiervoor dient men dan de bestaans- en kwadrateringsvoorwaarden in te voeren.
Dus [x = (x+5)≤ EN bvw EN kvw] => x = x+5.

Mijn vraag is nu, moet ik hier eigenlijk wel rekening houden met de bestaansvoorwaarde: x >= 0? Het is toch duidelijk uit de vgl x = (x+5)≤ dat x positief is? Volgens mij ligt het probleem hier enkel onder de kwadratering. Klopt dat en kan dit veralgemeend worden naar gelijkaardige opgaven?

Het kan *soms* voorvallen dat de een van de voorwaarden overbodig wordt omdat ze reeds 'vervat' zit in de andere voorwaarde. Je mag kwadrateren indien je uitdrukt dat de tekens van beide leden gelijk zijn (kwadrateringsvoorwaarde) en je moet voor reŽle oplossingen stellen dat de uitdrukkingen onder de vierkantswortels niet negatief zijn (bestaansvoorwaarde).

Je bvw is hier dus x :P 0 terwijl je kvw stelt dat het rechterlid niet negatief mag zijn (dat is de wortel namelijk ook nooit), dus x+5 :roll: 0 :) x :P -5. Vergelijk beide voorwaarden, welke omvat de andere? Pas dus wel op met die te 'veralgemenen', dit gaat zeker niet altijd op!

#5

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2005 - 18:47

Ter volledigheid beschouw ik inderdaad enkel reŽle oplossingen.

Dus voorwaarde x :roll: -5 is hier overbodig omdat ook x :P 0 moet gelden. Maar x :) 0 is toch ook overbodig omdat zowieso x = (x+5)≤ :? 0? Dus eigenlijk hoef ik hier met geen enkele voorwaarde rekening te houden, en kan ik de equivalentie gewoonweg doortrekken. Of sla ik de bal volledig mis? :P

Als ik dan Safe's vbtje aanhaal:

:P x = x-5 :D x = (x-5)≤ en x :) 5

Hier moet ik dan wťl rekening houden met de kwadrateringsvoorwaarde, maar NIET met de bestaansvoorwaarde omdat deze verpakt zit in de vorige.

Het is misschien stom, maar eigenlijk komt mijn vraag er op neer of het gevolg x = a≤ => [wortel]x = |a| correct is? :P
De kwadrateringsvoorwaarde zou ik dan gebruiken om te bepalen of a negatief of positief is.

Mvg.

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 31 december 2005 - 20:13

√a^2=|a| en je veronderstelling is dus correct!

Je andere opmerking: Als je met ťťn voorwaarde rekening houdt en aan de andere is dan voldaan, houd je toch ook met die voorwaarde (hopelijk bewust) rekening!!!?!

#7

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2006 - 12:19

Tuurlijk weet ik dat elke voorwaarde belangrijk is, maar dit soort oefeningen heb ik in het verleden enkel opgelost gezien door vooraf de bvw en kvw te bepalen en dan gewoon uit te werken en de oplossingen te toetsen aan die voorwaarden. Persoonlijk hou ik er ook liever van om gewoon te kwadrateren en de oplossingen achteraf te controleren.

Ik vroeg mij echter af hoe dit nu werkt als ik er een reeks equivalenties van wil maken en merkte dat ik niet goed door had hoe het precies op die manier werkte. Ik hoop dat ik dat nu een beetje beet heb. 8)

Kan iemand mij ook eens vertellen of dit klopt:

log(x≤+1) = log(3x+1) :P
x≤+1 = 3x+1 :roll:
x≤-3x = 0 :P
x(x-3) = 0 :D
x=0 of x=3

Normaal gezien zou ik hier op lijn 2 een bestaansvoorwaarde x > -1/3 moeten invoeren maar aangezien het linkerlid al strikt positief is, valt die voorwaarde hier ook weer weg. My two cents.

Groeten.

#8

Brinx

    Brinx


  • >1k berichten
  • 1433 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 01 januari 2006 - 13:06

Dat lijkt me helemaal correct. Wanneer je je gevonden oplossingen weer invult in de originele vergelijking krijg je ook netjes weer positieve getallen waar dan de logaritme van genomen wordt. Helemaal geldig dus.

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 januari 2006 - 20:04

Gevonden opl invullen en daarmee beoordelen op hun geldigheid is natuurlijk de 'minimum' eis.
Je kan niet buiten de bestaansvoorwaarden als het ongelijkheden betreft.

Aan allen: Een Gelukkig Nieuwjaar

#10

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2006 - 12:40

Aan ongelijkheden ben ik voorlopig nog niet (her-)begonnen, bedankt voor de waarschuwing alleszins.

Dank aan allen voor de hulp en van mij ook een gelukkig nieuwjaar gewenst! :roll:

Mvg.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures