[wiskunde] vergelijking vlak

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 02-03-'13, 15:01

angel1995

Berichten: 405

vergelijking vlak

Hallo

Ik kreeg de volgende opdracht mee: Bepaal een vergelijking van het vlak π dat de rechte a <-> x + 3y -5 = 0 en -3y - 2z + 3 =0 (deze vergelijkingen staan in een accolade bij a) omvat en loodrecht staat op het vlak α <-> x - 2y + 3z + 7 = 0

a) door π te beschouwen als een exemplaar van een vlakkenwaaier door a

b) op een tweede manier

Ik heb het volgende gedaan: een normaalvector van α opgesteld, namelijk (1,-2,3) dan een punt en een stel richtingsgetallen van a gezocht: P(8,-1,3) en richtingsgetallen (6,-2,3) en dit dan in een determinant gezet en gelijk gesteld aan 0. Maar dan kom ik iets anders uit dan achteraan in mijn boek bij de oplossingen staat. Weet iemand wat ik verkeerd doe?

Bedankt :)
Omhoog

Bericht 03-03-'13, 01:58

dannypje

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: vergelijking vlak

Dit zit ver en zonder te zien wat je deed is het niet makkelijk. Dus ...

Maar ik denk dat het de bedoeling is dat je nu het kruisproduct maakt van die normaalvector en het richtingsgetal. Die vector is dan een normaalvector voor je gezochte vlak, dus de coordinaten kan je gebruiken als factoren bij x, y en z in de cartesiaanse vergelijking van je vlak. Er is dan nog een constante C uit te rekenen, en die kan je vinden door het punt P te gebruiken.

Ik kom dan op (1,-2,3)x(6,-2,3) = (0,15,10), vereenvoudigd tot (0,3,2) (en berekend zoals hier).

Het vlak is dan 0x+3y+2z+C=0

en met P ingevuld krijg je

0.8-1.3+2.3+C=0

3+C=0

C=-3

dus het vlak wordt dan 3y+2z-3=0 (en ik hoop dat dat ook de oplossing is die in je boek staat :? ;) )
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
Omhoog

Bericht 04-03-'13, 08:26

angel1995

Berichten: 405

Re: vergelijking vlak

dannypje schreef: ↑zo 03 mar 2013, 01:58
Dit zit ver en zonder te zien wat je deed is het niet makkelijk. Dus ...

Maar ik denk dat het de bedoeling is dat je nu het kruisproduct maakt van die normaalvector en het richtingsgetal. Die vector is dan een normaalvector voor je gezochte vlak, dus de coordinaten kan je gebruiken als factoren bij x, y en z in de cartesiaanse vergelijking van je vlak. Er is dan nog een constante C uit te rekenen, en die kan je vinden door het punt P te gebruiken.

Ik kom dan op (1,-2,3)x(6,-2,3) = (0,15,10), vereenvoudigd tot (0,3,2) (en berekend zoals hier).

Het vlak is dan 0x+3y+2z+C=0

en met P ingevuld krijg je

0.8-1.3+2.3+C=0

3+C=0

C=-3

dus het vlak wordt dan 3y+2z-3=0 (en ik hoop dat dat ook de oplossing is die in je boek staat :? ;) )
dat is inderdaad de juiste oplossing maar ik snap dat kruisproduct nog niet helemaal. Een kruisproduct is toch dat je bij 2 of meerdere verhoudingen: de teller van de ene breuk vermenigvuldigt met de noemer van de andere breuk?
Omhoog

Bericht 04-03-'13, 10:23

dannypje

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: vergelijking vlak

Bij vectoren bedoelt men daar iets anders mee. Zie de link die ik meestuurde.

Het leuke aan zo'n normaalvector is dat je zijn coordinaten kan gebruiken als x,y en z factoren in de carthesiaanse vergelijking van het vlak waarop hij loodrecht staat.

In jouw opgave heb je dus een richtingsvector van de rechte, en de normaalvector van het vlak waarop jouw vlak loodrecht moet staan. Die 2 vectoren liggen dus in het vlak dat je zoekt. Als je van die 2 vectoren het kruisproduct maakt, staat die vector loodrecht op het vlak dat je zoekt, en kan je zijn coordinaten dus gebruiken als x, y en z factoren.

Ik heb geprobeerd een schets te maken. Hopelijk verduidelijkt dit de zaak een beetje.
Bijlagen
vlakken.pdf
(8.14 KiB) 66 keer gedownload
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”