[wiskunde] Inhoud van 2 delen van een kubus

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 20-03-'13, 15:17

Dominus Temporis

Berichten: 620

Inhoud van 2 delen van een kubus

Gegeven is de kubus
\(\begin{pmatrix}E & F & G & H \\ A & B & C & D \end{pmatrix}\)
.

P is het midden van [GH] en Q het midden van [EH]; vl (P,Q,B) verdeelt de kubus in twee delen. Bereken de verhouding van hun inhouden.

(Zie tekening in bijlage of Delta 5/6 (6/8 Lesuren) - Ruimtemeetkunde - Hoofdstuk 5: Oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren - Opdracht 19 (Tweede reeks) (p. 221))

Om te beginnen heb ik de doorsnede van de kubus door het vlak (P,Q,B) getekend. Nu vraag ik me af, mag je de bekomen figuur (de 'bovenste', die die het 'dichtst' bij de kijker ligt) verdelen in 3 piramiden, zoals aangegeven op de tekening, telkens met B als top?

Indien ja, hoe bereken je de snijpunten van het vlak (P,Q,B) en de zijvlakken van de kubus? (Stel de ribbe van de kubus bijvoorbeeld gelijk aan 2.)
Bijlagen
Kubus.jpg
Kubus.jpg (125.17 KiB) 480 keer bekeken
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 15:51

dannypje

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

Wat betreft die pyramiden, denk wel dat dat kan.

Wat betreft de snijpunten R en S. Je kan de vergelijking van het snijvlak berekenen uit de 3 punten waardoor het gaat. En dan zoek je gewoon het snijpunt van dat vlak met de rechtopstaande ribben toch ? Als je de kubus in de oorsprong veronderstelt, dan zijn de vergelijkingen van die ribben tamelijk eenvoudig neer te schrijven en de snijpunten zijn dan ook snel gevonden denk ik.
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 16:32

Dominus Temporis

Berichten: 620

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

Stel de ribbe van de kubus = 2
\(E(2,0,2);H(0,0,2);G(0,2,2);B(2,2,0);Q(1,0,2);P(0,1,2)\)
\(\vec{EB}(0,2,-2)\sim (0,1,-1)\)
\(\vec{PQ}(-1,1,0)\)
\(\Rightarrow BPQ: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\)
\(\cdots\)
\( BPQ\leftrightarrow\left\{\begin{array}0r-s=x-2\\r+s=y-2\\-r+0s=z\end{array} \right \)
\(\begin{pmatrix}-1&0&z\\1&1&y-2\\0&-1&x-2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-1&0&z\\0&1&y-2+z\\0&-1&x-2\end{pmatrix}\)
\(\cdots\)
\(x-2+y-2+z=0\)
\(BPQ\leftrightarrow x+y+z-4=0\)
Ik wil nu bijvoorbeeld R berekenen:
\(R\in EA\)
\(EA\leftrightarrow \left\{ \begin{array}x=2 \\ y=0 \end{array}\right\)
\(\Rightarrow R(2,0,z)\)
\(R\in PQR\)
\(\Rightarrow 2+0+z-4=0\)
\(\Leftrightarrow z=2\)
\(\Rightarrow R=R(2,0,2)\)
Zo, ik ben door m'n LaTeX-avontuurtje :) (M'n x=2 in het laatste stelsel wil niet tevoorschijn komen; waarom?)

Nu is het probleem dat dit resultaat wel te veel afwijkt van de tekening.

Waar zit de fout?
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 16:40

Dominus Temporis

Berichten: 620

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

Sorry, ik zie m'n fout al...Waarom neem ik toch in vredesnaam EB als een richtingsvector van PBQ!?
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 16:51

Dominus Temporis

Berichten: 620

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

Ik heb nu een vergelijking voor het vlak PBQ: 2x-4y-3z+4=0.

Zal wel kloppen zeker?

R?

AE: x=2 en y = 0

4 - 0 - 3z + 4 = 0

-3z = -8

z = 8/3

=> R(2,0,8/3)

S?

CG: x=0 en y=2

0 - 8 - 3z + 4 = 0

-3z = 4

z = -4/3

PROBLEEM: op de tekening ligt S duidelijk boven het (x,y)-vlak en heeft dus een positieve z-waarde. Wat is er nu weer fout gelopen?

VRAAG: stel, ik heb de juiste R en S...Moet ik dan ook nog eens het hoogtepunt vanuit B op elke piramide berekenen om dan de afstand van B tot dat punt te bepalen om dat te vermenigvuldigen met de oppervlakte van het grondvlak van zo elke piramide?? Zou wel ERG veel werk zijn he? Of is het het zwaartepunt? Nee he?
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 16:58

dannypje

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

Mooi, ik kreeg idd een andere cartesiaanse vgl voor BPQ :)
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 17:00

Dominus Temporis

Berichten: 620

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

Voordat ik m'n lange werkwijze noteer wil ik je vragen of het inderdaad 2x-4y-3z+4=0 is.
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 17:06

dannypje

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

Nog altijd fout in cartesiaanse vgl PBQ. Vul de 3 punten maar s in. eentje gaat fout bij jou geloof ik.

Wat betreft je vraag over hoogte, denk dat je idd de loodrechte afstand van F tot PBQ zult moeten bepalen en die als hoogte gebruiken. Veel werk, bwah, het is toch leuk ? ;) (nog s je vraag goed gelezen, de hoogte meet je dus loodrecht op het grondvlak, niet langs een ribbe van de piramide he).
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 17:10

Dominus Temporis

Berichten: 620

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

Dan schort er iets aan m'n spillen van de matrix...
\(\vec{BP}(2,1,-2)\)
\(\vec{BQ}(1,2,-2)\)
\(BPQ\leftrightarrow\left\{\begin{array}x=2+2r+s\\y=2+r+2s\\z=0-2r-2s\end{array}\right\)
\(\begin{pmatrix}2&1&x-2\\1&2&y-2\\-2&-2&z\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&2&y-2\\2&1&x-2\\-2&-2&z\end{pmatrix}\)
\(\sim\begin{pmatrix}1&2&y-2\\0&-3&x-2-2y+4\\-2&-2&z\end{pmatrix}\)
\(3R_3-2R_2 \Rightarrow 3z-2x+4+4y-8=0\)
\(\Leftrightarrow -2x+4y+3z-4=0\)
\(\Leftrightarrow BPQ\leftrightarrow 2x-4y-3z+4=0\)
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 17:29

dannypje

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

Sorry, ik kan niet spillen maar invullen van P in jouw vgl klopt niet. Denk dat fout in allerlaatste stap zit.

Ik kom op 2x+2y+3z-8=0
\(BPQ\leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x=2+2r+s\\y=2+r+2s\\z=0-2r-2s\end{array}\right\)
Dus
\(x+y = 4-\frac{3}{2}z\)
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 17:43

Dominus Temporis

Berichten: 620

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

En ik ben een imbiciel.

Veel te lange werkwijze.

Trek je de snijlinen van dat vlak en de zijvlakken door, dan bekom je 1 grote piramide 'het deel van de kubus met nog 2 kleine piramides aan...

Dan moet je enkel de inhoud van die hele grote piramide verminderen met de inhouden van die 2 kleine piramides, en je hebt het bovenste deel...veel simpeler dan mijn werkwijze..
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 17:49

dannypje

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

volgens mij heb je dan een vlak met ergens een piramide (de piramide die je zoekt) erop. Of laat mijn ruimtelijk inzicht mij nu schromelijk in de steek hier ?
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 17:51

Dominus Temporis

Berichten: 620

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

ik vrees voor het laatste :)

die werkwijze is veel makkelijker & korter...ik sta echter bekend voor m'n veel te moeilijke werkwijzes die overigens veel te veel plaats en tijd in beslag nemen :) (noem me maar eigenwijs :P )
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 17:56

dannypje

Gebruikersavatar
Berichten: 768

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

Dus jij ziet die grote piramide als met grondvlak het verlengde van QR en PS en de verbinding die vooraan door B loopt dan ?

En 1 van de 'kleine piramides' die met tophoek A ? Als dat het geval is, die piramide met tophoek A ligt alvast niet in die 'grote piramide' denk ik.

EDIT: ik zie nu wat je bedoelt. De grote piramide met tophoek D bereken. hmm, ja, mss korter, hoewel ....

PS: misschien is het wel interessant voor je voor deze oefening om te weten dat er een formule bestaat om alleen aan de hand van de lengtes van de 3 zijden van een driehoek de oppervlakte te berekenen. Scheelt weer een hoop hoogtes die je moet berekenen denk ik. Ken ze niet vanbuiten hoor, zoek maar s op.
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
Omhoog

Bericht 20-03-'13, 18:00

Dominus Temporis

Berichten: 620

Re: Inhoud van 2 delen van een kubus

De grote piramide heeft als grondvlak het verlengde van BR, verlengde van BS en verlengde van PQ. dan heb je nog F als top.

Zie je 't?

makkelijker is eigenlijk om het grondvlak te zien als de driehoek gevormd door:

De verlengde rechte BR, de verlengde rechte EF en de rechte BF

terwijl de top dan het snijpunt is van de verlengde rechte BS, de verlengde PQ en de verlengde rechte F[snijpuntBSenPQ]
"The only reason for time is so that everything doesn't happen at once." - Albert Einstein
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”