Springen naar inhoud

Grootste verschil tussen 2 functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Trisman

    Trisman


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2013 - 12:52

Hallo iedereen.

Ik zou graag eens willen weten of volgende redenering correct is:

Er werd mij gevraagd om het punt te zoeken waar 2 functies het meest verschillen.

Neem bijvoorbeeld:

f(x)= x

&
g(x) = x5

In het interval [0,1]

Ik denk dan dat ik als volgt mijn oplossing kan vinden:

Om het punt te vinden zou ik moeten te weten komen waar g(x) sneller begint te stijgen dan f(x).

M.a.w. waar g'(x) = f(x).

Dat punt zou volgens mij het grootste verschil tussen deze 2 functies moeten zijn.

Is deze redenering correct of sla ik de bal volledig mis?

Alvast bedankt

Mvg
Tristan

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2013 - 13:51

Wat bedoel je met verschil? Waar de functies een totaal verschillend gedrag vertonen?
Of de afstand tussen de twee?

Wat je kan doen is het verschil van de afgeleiden maximaliseren.
Je kan dan ook nog verder gaan kijken hoe die afgeleiden weer veranderen (tweede afgeleiden enz).

Kan je misschien eens een aantal grafieken als voorbeeld geven waarbij je zo'n punt aanduid.
Het is dus zo dat ik niet meteen een definitie van zo'n verschil ken. Misschien dat jij er daar een voor hebt gekregen.

#3

Trisman

    Trisman


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2013 - 12:33

Je hebt gelijk ik heb mij niet voldoende uitgedrukt:

De vraag is eigenlijk:

Welke positieve reële getallen zijn groter dan hun 5de macht en bij welk van deze getallen is het verschil met hun 5de macht het grootst.

Dus dan denk ik aan de getallen tussen 0 & 1.

Dus hebben we eigenlijk 2 functies:

f(x) = x

&

g(x) = x5

en een afgeleide van g(x) = 5x4

Aangezien de afgeleide g'(x) de snelheid van verandering weergeeft van g(x), dan ga ik ervan uit dat als

g'(x) = x

dat vanaf dat punt g(x) sneller begint te stijgen dan x.

Dus dat dat punt eigenlijk het punt is waar het verschil tussen g(x) & x het grootst is.

Ik kijk vanavond of ik nog enkele grafieken kan toevoegen.

Alvast bedankt voor de hulp!

#4

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 maart 2013 - 12:41

Heb je er al eens aan gedacht om naar h(x) = f(x)-g(x) te kijken? Als h(x) > 0 dan is f(x) > g(x). Ken je ook geen manier om te kijken waar het verschil h(x) maximaal is?

#5

Trisman

    Trisman


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2013 - 12:51

Nu zie ik het, ik zocht het wat te ver.

Ik kan inderdaad gewoon van h(x) = f(x) - g(x) de extreme waarden berekenen.

Op het maximum weten we dat h(x) het grootst is.

Bedankt!

#6

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2013 - 14:01

Inderdaad.
Ten slotte zou ik nog graag toevoegen dat wat je daar over LaTeX zei niet juist is.
Jij zegt dat als ze gelijk zijn g sneller stijgt. Maar de oplossingen voor die vergelijking zijn 0 en 1.
Maar hieruit kan/mag je geen conclusies volgens mij omdat je appelen met peren vergelijkt.
Mate van verandering (g'(x)) versus een gewone functie.

Voor x is de richtingscoefficient (maw de 'stijgingssnelheid') steeds 1. Voor g(x) kan je die in ieder punt berekenen als LaTeX .

Als je nu volgende ongelijkheid bekijkt LaTeX weet je wanneer g sneller zal stijgen als de rechte.
Zie je wanneer dit zo is? Ik zou me beperken tot de positieve as.

Maar dan weet je ook waar dat g trager stijgt.

Hoe zou je dan het gedrag van g t.o.v. x kunnen inzien zonder grafieken te tekenen.
Hint: LaTeX

#7

Trisman

    Trisman


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2013 - 13:13

Ik denk:
Wanneer g'(x) = 1 dus als 5x4 = 1 (Zo ongeveer rond 0.70)

Dan stijgt g evensnel als f.

alles waar g'(x) > 1 stijgt g sneller dan f (alles boven ~0.70 dus).

Mijn denkwijze was eigenlijk als volgt:

Zolang g trager stijgt dan f blijft het verschil groeien. Van het moment dat g sneller begint te stijgen dan f weten we dat het verschil begint te krimpen.

Dus ik dacht dat op het punt waar g evensnel stijgt als f dat we daar het grootste verschil hadden.

Dit klopt niet want g stijgt inderdaad ook evensnel als f wanneer x = 0 (en dan is g(x) = f(x) uiteraard).

Om te antwoorden op de laatst gestelde vraag:

Dus om het van g t.o.v. x te kunnen inzien moeten we de 2 afgeleiden met elkaar vergelijken en niet de afgeleide van g met x.

Correct?

Alvast bedankt

#8

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2013 - 22:29

Je denkwijze is net geformuleerd. Ook goed bedacht.
Daaruit kan je dan meteen het punt in zien.

Je tweede deel klopt ook. Maar je moet natuurlijk uitzoeken of het een maximum of minimum is.
De uitspraken zijn in essentie equivalent.

Je laatste stuk is uiteraard ook correct.

Ik hoop dat je hier door nog iets meer inzicht hebt gekregen in deze materie.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures